Indukcja matematyczna Zuza: Korzystając z zasady indukcji matematycznej udowodnij: 6|n³ −n, dla n∊N i n≥2

Metis: 1^o. Na mocy zasady indukcji matematycznej sprawdzam poprawność formuły dla n=2 2³−2= 6 , Zatem dla n=2 formuła jest prawdziwa. 2^o. (n+1)³−(n+1)=n³+3n²+2n=n(n+1)(n+2) − iloczyn 3 kolejnych liczb naturalnych, pomyśl dlaczego jest podzielny przez 6 −−−−−−−−−−−−−−−−−− Nie jestem pewny poprawności zapisu, dzisiaj miałem to wykładzie, poczekaj, aż ktoś z jednostek wybitnych powie czy to co zapisałem jest

Saizou : 1^o sprawdzenia dla n₀=2 2³−2=8−2=6 czyli jest podzielne przez 6 2^o (założenie indukcyjne) Zakładamy, że zdanie jest prawdziwe dla n=k, n≥n_o=2 6|k³−k co jest równoważne ∀k≥2 ∃ p∊Z k³−k=6p 3^o (teza indukcyjna) dla n=k+1 , n≥2 ∀k≥2 ∃m∊Z (k+1)³−(k+1)=6m Dowód tezy indukcyjnej L=(k+1)³−(k+1)=k³+3k²+3k+1−k−1=k³+k+3k²+k=6p+3k(k+1)=6m=P , bo 3k(k+1) jest podzielne przez 3 oraz przez 2 (jako iloczyn 2 kolejnych liczb naturalnych) Zatem na mocy zasady indukcji matematycznej 6|n³−n

anaisy: Metis Twoje rozwiązanie jest poprawne, ale nie skorzystałeś z indukcji (dowodząc, że n(n+1)(n+2) jest podzielne przez 6 dla n=k nie korzystamy z tego, ze jest podzielne przez 6 dla n=k−1). Rozwiązanie z indukcji 1. Jak powyzej 2. Zalozmy ze teza dziala dla n=k−1, k−1≥2. 3. Pokazemy, ze teza dziala dla n=k. Z 2. wiemy, że 6|(k−1)³−(k−1), czyli 6|k³−3k²+3k−1−k+1=k³−k−3(k²+k)=k³−k−3k(k+1), ale 6|3k(k+1) (uzasadnienie), więc 6|k³−k−3k(k+1)+3k(k+1)=k³−k.

Metis: Ok Dzięki

Saizou : co więcej masz kilka możliwości pokazania implikacji, że T(n)⇒T(n+1) oczywiście dowód wprost, czyli pokazanie implikacji p⇒q dowód nie wprost ¬q⇒¬p dowód przez zaprzeczenia ¬(p∧¬q) tutaj najlepiej sprawdzać warunek w nawiasach i pokazywać że jest on fałszywy