matematykaszkolna.pl
oblicz Kuna: ∫ √1+(ctgx)2 dx
6 paź 18:46
azeta:
 cos2x sin2x 1 
ctg2x+1=
+
=
 sin2x sin2x sin2x 
6 paź 19:00
Kuna: a co z pierwiastkiem?
6 paź 19:12
azeta:
1 
=...?
√sin2x 
6 paź 19:27
Mariusz: √1+ctg2(x)=t−ctg(x) 1+ctg2(x)=t2−2tctg(x)+ctg2(x) 1=t2−2tctg(x) 2tctg(x)=t2−1
 t2−1 
ctg(x)=
 2t 
d cos(x) 2t*2t−2(t2−1) 
(
)=
dx sin(x) 4t2 
−sin2(x)−cos2(x) t2+1 
dx=
dt
sin2(x) 2t2 
 t2+1 
(−1−ctg2(x))dx=
dt
 2t2 
 t2−1 t2+1 
(−1−(
)2)dx=
dt
 2t 2t2 
 t4−2t2+1 t2+1 
(−1−
)dx=
dt
 4t2 2t2 
 t4−2t2+1+4t2 t2+1 
−
dx=
dt
 4t2 2t2 
 t4+2t2+1 t2+1 
−
dx=
dt
 4t2 2t2 
 4t2t2+1 
dx=−
dt
 (t2+1)22t2 
 2 
dx=−
dt
 t2+1 
 2t2−t2+1 
t−ctg(x)=
 2t 
 t2+1 
t−ctg(x)=
 2t 
 t2+1 2 
∫
(−
)dt
 2t t2+1 
 dt 
−∫
 t 
=−ln|t|+C =−ln|ctg(x)+√1+ctg2(x)|+C
6 paź 21:11
azeta:
 1 dx 
∫√1+ctgx2dx=∫
dx=+/−∫
= [pomijam znak +/−]
 √sin2x sinx 
 x x 
 x x 
2sin
cos2
 2 2 
 x x 
sinx=2sin
cos
=
=2tg
cos2
 2 2 
 x 
cos
 2 
 2 2 
wobec czego całka
 dx dx 
∫
=∫
 sinx 
 x x 
2tg
cos2
 2 2 
 
 x 1 
podstawiam t=tg
=> dt=
 2 
 x 
2cos2
 2 
 
co daje nam
 dt 
∫
=ln|t|+C
 t 
teraz wystarczy wrócić do starej zmiennej
 x 
=ln|tg
|+C
 2 
6 paź 21:51