prawdopodobieństwo marta: W urnie znajduje się 20 kul: 12 zielonych, 7 białych i jedna czarna. Losujemy 5 razy po jednej kuli ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wyciągnięto kule we wszystkich kolorach. Proszę o pomoc.

Janek191: zzbbc, zzzbc, zbbbc

Mila: Jest ze zwracaniem więc jeszcze : cccbz ccbbz, ccbzz

PW: Myślę, że to trudne zadanie.

Mila: Tak. Żmudne liczenie, chyba, że jest jakiś ciekawy sposób.

marta: a czy mogłoby być tak? IΩI=20⁵ IAI=5*12*4*7*3*1*20²

marta: jest więc 6 przypadków 1) 1c, 1b, 3z 2) 1c, 2b, 2z 3) 1c, 3b, 1z 4) 2c, 1b, 2z 5) 2c, 2b, 1z 6) 3c, 1b, 1z IAI=IA₁I+IA₂I+IA₃I+IA₄I+IA₅I+IA₆I

	12 3		12 2		5!		5!
IA1I=1*7*		*5!+1*7*		*2*		+1*7*12*		=215520
					2!		3!

7 2

12 2

12 2

5!

7 2

5!

IA2I=1*

*

*5!+1*7*

*

+1*

*12*

+1*

2!

2!

	5!
7*12*		=210840
	3!

	7 3		7 2		5!		5!
IA3I=1*12*		*5!*1*12*		*2*		*1*12*7*		=82320
					2!		3!

	12 2		5!		5!
IA4I=1*7*		*		+1*7*12*		=30240
			2!		2!*2!

	7 2		5!		5!
IA5I=1*		*12*		+1*7*12*		=17640
			2!		2!*2!

	5!
IA6I=1*7*12*		=1680
	3!

zatem IAI=558240

	558240
P(A)=
	205

marta: czy to jest poprawne rozwiązanie?

Jerzy: Nie ... cbzzz , to nie to samo, co np: bczzz ( ważna jest kolejność )

marta: dlatego mnożę przez silnie

Jerzy: cbzzz = 1*7*12*11*10 bczzz= 7*1*12*11*10 wypisujesz wszystkie przypadki i sumujesz ( te same iloczyny )

marta: ale kule losujemy ze zwracaniem, więc tych przypadków jest o wiele więcej.. mój sposób jest zły?

Jerzy: a...nie zwróciłem uwagi: cbzzz = 1*7*12³ bczzz = 7*1*12³

Mila: bzccc

	5!
7*12*13*		−kule czarne są nierozróżnialne
	3!

marta: tak liczyłam 1) 1c, 1b, 3z 2) 1c, 2b, 2z 3) 1c, 3b, 1z 4) 2c, 1b, 2z 5) 2c, 2b, 1z 6) 3c, 1b, 1z

	5!		5!		5!
IAI=1*7*123*		+1*72*122*		+1*73*12*		+12*7*122
	3!		2!*2!		3!

	5!		5!		5!
*		+12*72*12*		+13*7*12*
	2!*2!		2!*2!		3!

Mila: A masz odpowiedź do zadania?

PW: Nikt nie pokusił się o skonstruowanie przestrzeni zdarzeń i określenie w niej prawdopodobieństwa. Błędne jest założenie, że wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne (stosowanie tzw. klasycznej definicji prawdopodobieństwa). Popatrzmy spokojnie: przecież zdarzenia (z,z,z,z,z) i (c,c,c,c,c) nie są jednakowo prawdopodobne, zielona w pojedynczym ciągnieniu wypada 12 razy częściej niż czarna.

PW: Określmy prawdopodobieństwo zdarzenia C' − "ani razu nie wyciągnięto kuli czarnej" patrząc na opisane doświadczenie jak na schemat Bernoullego, w którym

	19		1
N = 5, p1 =		, q1 =		.
	20		20

	19
P(C') = (		)5,
	20

zatem prawdopodobieństwo zdarzenia C − "wyciągnięto co najmniej jedną kulę czarną" jest równe

	19
P(C) = 1 − (		)5.
	20

Podobnie zdarzenia Z' − "nie wyciągnięto ani razu kuli zielonej" oraz B' − "nie wyciągnięto ani razu kuli białej" mają prawdopodobieństwa

	8
P(Z') = (		)5
	20

	13
P(B') = (		)5
	20

i odpowiednio

	8
P(Z) = 1 − (		)5
	20

	13
P(B) = 1 − (		)5.
	20

Mamy obliczyć P(Z∩B∩C), a więc jeszcze trzeba pogłówkować. Czy w ten sposób rozwiążemy zadanie?

marta:

	585480
liczyłam to zadanie dwoma sposobami i wyszedł ten sam wynik : P(A)=		=0,1829625,
	205

odpowiedzi do zadania niestety nie mam

PW: marta, liczenie |Ω| i |A|, a potem

	|A|
(1) P(|A|) =
	|Ω|

ma sens tylko wtedy, gdy mamy do czynienia z przestrzenią, w której zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Wzór (1) to tak zwana klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Zastanów się − zamiast liczyć trzeci raz − czy w tym zadaniu sensowne jest stosowanie tego wzoru.

marta: czyli rozwiązanie z 7 paź 18:38 jest złe? przecież uwzględnia ilość kul poszczególnych kolorów i np. wylosowanie zielonej jest 12 razy bardziej prawdopodobne niż wylosowanie czarnej.. nic juz nie rozumiem

PW: Jak rozwiążesz zadanie: W urnie jest 12 kul białych i 1 czarna. Ciągniemy 5 razy po jednej kuli za zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy kule obydwu kolorów.

marta: IΩI=13⁵ 1) 1 czarna i 4 białe 2) 2 czarne i 3 białe 3) 3 czarne i 2 białe 4) 4 czarne i 1 biała

	5!		5!		5!		5!
IAI=1*124*		+12*123*		+13*122*		+14*12*		=122460
	4!		2!*3!		3!*2!		4!

P(A)=122460/371293

marta: a jak zrobimy przeciwnym to jest albo wszystkie czarne albo wszyskie białe, czyli 1⁵+12⁵=248833

	248833		122460
P(A)=1−		=		, czyli wszystko się zgadza
	371293		371293

PW: A stosując schemat Bernoullego? Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A − "wylosowano zero białych" oraz prawdopodobieństwo zdarzenia B − "wylosowano zero czarnych".

marta:

	5 0		12		1		1
P(A)=		*(		)0*(		)5=
			13		13		135

	5 0		1		12		125
P(B)=		*(		)0*(		)5=
			13		13		135

w czym rzecz?

PW: W prostocie wypowiedzi i łatwych rachunkach, tylko dokończyć. P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) = P(A) + P(B) (bo A∩B jest niemożliwe)

marta: czy więc rozwiązanie z 18:48 jest ok?

marta: już wiem jak to ładnie rozwiązać A−nie wypadła czarna B−nie wypadła biała C−nie wypadła zielona IA∪B∪CI=IAI+IBI+ICI−IA∩BI−IB∩CI−IC∩AI+IA∩B∩CI= 19⁵+13⁵+8⁵−12⁵−1⁵−7⁵+0=2614520 zatem wszystkich możliwości jest: 20⁵−2614520=585480 dzięki za naprowadzenie!

Mila: I żmudny sposób: A−wśród wylosowanych 5 kul są kule wszystkich kolorów Kolejno wypisujemy zdarzenia:

	5!
1) (z,z,b,b,c ) − 122*72*		=144*49*30
	2!*2!

	5!
2) (z,z,z,b,c)−123*7*1*		=123*7*20
	3!

	5!
3) (z,b,b,b,c)−12*73*1*		=12*73*20
	3!

	5!
4) (c,c,c,b,z)−1*7*12*		=7*12*20
	3!

	5!
5) (c,c,b,b,z)− 1*72*12*		=49*12*30
	2!*2!

	5!
6) (c,c,b,z,z)− 1*7*122*		=7*144*30
	2!*2!

Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A |A|=144*49*30+12³*7*20+12*7³*20+7*12*20+49*12*30+7*144*30=585 480