wyznaczanie monotoniczności ciągu Bartłomiej: Wyznacz monotoniczność oraz ograniczenie ciągu: an=(−3)ⁿ

PW: Wyrazy są na przemian ujemne lub dodatniei; ciąg nie jest monotoniczny.

Bartłomiej: Ale jak to udowodnić? Bo a_n+1−a_n=(−3)ⁿ*(−3) − (−3)=? I co dalej?

Adamm: a_n=(−3)ⁿ=(−1)ⁿ3ⁿ a_2n=3²ⁿ a_2n+1=−3²ⁿ⁺¹ dwa podciągi z czego a_2n>0 a a_2n+1<0

PW: Ale co tu dowodzić? Coś się zmienia w ten sposób, że raz jest ujemne, a raz dodatnie (co jest oczywiste dla każdego, kto zna definicję potęgi), nie rośnie więc ani nie maleje − "skacze". Nie pisałem poprzednio, ale również jest oczywiste, że ciąg nie jest ograniczony − potęgi (−3)ⁿ mogą być dowolnie duże dla parzystych n.

Bartłomiej: A jak obliczyć same : a_n+1−a_n ?

Adamm: nie ma sensu po prostu wyliczasz, a₁=−3, a₂=9, a₃=27 i już stąd można wywnioskować że a_n nie może być monotoniczne

PW: Uparciuch. Badając formalnie monotoniczność możemy obliczać różnicę, albo iloraz: − ciąg jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich n

	an+1
(1)		> 1.
	an

Wybieramy dzielenie, gdy jest łatwiej zbadać nierówność (1) niż różnicę.

Adamm: PW a_n=−3ⁿ w takim razie jest ciągiem rosnącym

PW: Co ty nie powiesz.

Bartłomiej: No okej ale mając inny przykład a_n=(−1)ⁿ I na wykładzie wykładowca rozwiązał to w ten sposób: a_n+1−a_n=(−1)ⁿ⁺¹−(−1)ⁿ=(−1)ⁿ(−1−1)=−2(−1)ⁿ Why ?

Bartłomiej: I wykazało że jest to ciąg niemonotoniczny, ale znowu jeśli zrobi się ten przykład dzieleniem to wskazuje na ciąg malejący. Pytam więc dlaczego są takie różnice podczas obliczania różnymi sposobami?

PW: Nie jest ważne, czy liczył różnicę, czy iloraz − ważne jaki wniosek z tego wyciągnął. Wniosek powinien brzmieć: badana różnica jest dodatnia dla nieparzystych n, a ujemna dla parzystych n, co oznacza, że ciąg nie jest monotoniczny. Generalnie badamy różnicę lub iloraz, gdy wiemy że wyrazy są tego samego znaku, inaczej sens tego badania jest żaden. To co napisałem o 16:53 dotyczyło ciągów o wyrazach dodatnich

Bartłomiej: To koniec końców jak policzyć różnice dla przykładu a_n=(−3)ⁿ ?

grthx: Jutro zapytaj wykladowcy albo cwiczeniowca

PW: a{n+1} − a_n = (−3)ⁿ⁺¹ − (−3)ⁿ = (−3)ⁿ(−3−1) = −4•(−3)ⁿ i wniosek − różnica ta jest ujemna dla parzystych n, zaś dodatnia dla nieparzystych n, co oznacza że ciąg nie jest monotoniczny. Jest to jednak głupi formalizm − przecież widać, że wyrazy są na przemian różnych znaków, a więc ani nie rosną, ani nie maleją. W ten sposób − sprawdzając formalnie warunki definicji dla ciągu o wyrazach różnych znaków − można zrobić raz w życiu dla zadowolenia teoretyków.