Stereometria - oblicz objętość prostopadłościanu Izydor: W prostopadłościanie przekątne podstawy mają długość równą d i tworzą kąt o mierze α .Przekątna prostopadłościanu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze β. Oblicz objętość prostopadłościanu. Będę wdzięczny za pomoc.

ICSP: Wystarczy podstawić wartości do wzoru.

===:

	1		d2
... zauważ, że pole podstawy to 4*		*		sinα
	2		4

a wysokość prostopadłościanu H=d*tgβ

Jack: Niech γ = 180 − α ============== Przede wszystkim − co mamy znaleźć ? Otóż odpowiedzią jest − objętość (V) V = P_P * h (Pole podstawy razy wysokość) Jak wyrazić pole podstawy znając przekątne? Możemy to zrobić np. w ten sposób Pole podstawy składa się na 4 trójkąty (powstałe z przecięcia przekątnych). Gdzie mamy 2 razy po 2 trójkąty o tym samym polu. Oznaczmy Pole podstawy jako P_p a pola trójkątów które się na nią składają jako P₁ i P₂ Wiemy, że P_p = 2P₁ + 2P₂ Zatem wyznaczmy najpierw pole trójkąta przy literce a

	1		d		d		1
P1 =		*		*		* sin α =		d2sinα
	2		2		2		8

Teraz drugi trójkąt przy literce b

	1		d		d
P2 =		*		*		* sinγ
	2		2		2

wiemy, że csin γ = sin(180−α) = sin α

	1		d		d		1
zatem P2 =		*		*		* sin α =		d2 sinα
	2		2		2		8

Stąd

	1		1		1
Pp = 2*		d2sinα + 2*		d2 sinα =		d2sinα
	8		8		2

Wyznaczmy teraz wysokość za pomocą kąta β Widać od razu, że możemy to zrobić za pomocą tangensa. Zatem

	h
tg β =
	d

stąd h = d * tg β Zatem objętość wyraża się wzorem

	1		1
V =		d2sinα * d * tg β =		d3 sinα tgβ
	2		2

Izydor: Dziękuję.