dylemacik Jack: Od ktorych calek powinno sie zaczac? oznaczonych czy nieoznaczonych?

Ajtek: Nieoznaczonych.

Jack: ok, dzieki

Antonni: Nieoznaczonych

Adamm: masz np. całkę oznaczoną ∫dx od 1 do 2 używasz wzoru na całkę nieoznaczoną ∫dx=x żeby ją obliczyć

Jack: dzieki dzieki

Mila: Od czytania teorii.

Saizou : Popieram Milę Dowiedz się co do są sumy górne i dolne i jak się je konstruuje, następnie cały górne i dolne, a potem już z górki

Jack: nie lepiej od praktyki?

Metis: Jak tam leci Jack ? Masz już plan?

Saizou : Jack nie, bo co to za umiejętność jeśli nie wiesz o co chodzi

Saizou : a przy okazji poćwiczysz czytanie tekstu matematycznego

Jack: Metis plan mam od 2 tygodni tylko problemem jest ze nie znam grupy, a jest ich 6 dowiem sie dopiero w pon. wszystkiego Saizou , Milu Czy macie w takim badz razie jakas literature dotyczaca calek? Bo ja jedynie mam jakies zadanka.

Jack: a jak tam sprawa u Ciebie wyglada? Metis (za szybko mi sie wyslalo)

ICSP: Poczekaj na wykład.

Jack: ICSP na wykladzie to ja to bede miec za pol roku... szkoda czasu marnowac.

ICSP: Dopiero za pól roku... Potrafisz wytłumaczyć dlaczego dopiero za pół roku ?

grthx: Jesli chcesz wiedziec jak to Gewert Skoczylas jesli chcesz wiedziec dlaczego tak to np Rachunek rozniczkowy i calkowy Kazimierz Kuratowski .

Ajtek: Jack, Krysicki, Włodarski "Analiza matematyczna...." są pdf−y w necie, poszukaj. Wg mnie całkiem przyzwoicie wyłożone. Jak będziesz miał problemy, to wróć do pochodnych. Witam Obecnych.

Jack: ICSP gdyz zakladam, ze zanim beda calki to najpierw beda zespolone/macierze moze geometria analityczna albo pochodne i granice.

Jack: znalazlem takie cos http://thecompany.pl/materialy/Analiza%20matematyczna%202%20Przyklady%20i%20zadania.pdf ale tu juz calki niewlasciwe sie liczy.

Mila: Najpierw Analiza1.

Jack: http://staff.uz.zgora.pl/jskowron/pliki/MPT3.pdf czyli to bedzie git?

Jack: btw. Dziekuje wszystkim za rady i komentarze

Saizou : a co do teorii to może być Fichtenholz tom 2

grthx: Pytanie jest tylko jedno . czy bedzie mial na to duzo czasu ? watpie . To jest ponad 600 stron do przyswojenia. W ogole czy bedzie mial wolny czas na nauke calek w 1 semetrze ?

Jack: czas zalezy tylko i wylacznie od checi. w koncu pdf moge czytac w autobusie, pociagu, tramwaju, gdziekolwiek no chyba, ze naprawde bedzie bardzo ciezko, to wtedy co innego

grthx: Cuda sie zadarzaja ale to do egzaminu mozna przeczytac ksiazke 500 stron w 2−3 dni

Jack: no o tym mam nadzieje, ze sie jednak nie przekonam

Saizou : Nie przesadzaj grthx niecałe 80 stron z całki nieoznaczonej, z czego nie trzeba wszystkiego czytać. No i w Fichtenholcie są przykłady.

Metis: Jack ja właśnie ułożyłem sobie plan i zobaczymy rano czy zdąże sie pozapisywać Mogę się zapisać też na Ćwiczenia z AM1.2 do Pana Gewerta Jest także u Nas Pan Zakrzewski, ale jego nie znajdę na moim wydziale.

Jack: To Ty sobie mozesz sam ulozyc plan?

Metis: Dokładnie. Mogę rozłożyć sobie zajęcia w czasie jak mi pasuje. Zrobić dwa dni wolne, wybrać najlepszych wykładowców itd.

grthx: Male ale Saizou Fichteholz to jest rok 1959 (orginal tom 2 Mam przeklad z 1985r Wtedy w szkole sredniej byly calki nieoznaczone i oznaczone , takze byly proste rownania rozniczkowe Wiec czytajac go wiesz co czytasz . teraz nie ma . Wiec najpierw dobrze pochodne poznac . (tom 1 .

Saizou : Być może, ja czytałem to pobieżnie, bo chodziłem na wykłady i z nich głownie miałem notatki.

grthx: Poza tym Saizou Ty studiujesz matematyke wiec pewnie duzo zajec z tego miales . Ale kazdy musi jakos sobie poradzic sam

Metis: Krzyśku Co u Ciebie?

bezendu: Jacek ale bredzisz... Analiza matematyczna to coś innego jak Algebra Całki to temat na analizę, a macierze, zespolone to Algebra ICSP dobrze Ci powiedział, poczekaj na wykład, bo to co piszesz to ..... Semestr trwa 4,5 miesiąca a żeby mieć analizę 2 to musisz umieć całki które są na analizę 1 Zanim coś napiszesz to pomyśl trochę i poczytaj teorie tak jak mówi Mila Taka moja dobra rada, tu nie ma złośliwości...

bezendu: "Cuda sie zadarzaja ale to do egzaminu mozna przeczytac ksiazke 500 stron w 2−3 dni" Można ale bez zrozumienia żeby przeczytać i nic więcej nauka to nie tylko czytanie a tez praktyka... AMEN

Mariusz: "Ajtek: Nieoznaczonych.' Widziałem jak jeden koleś funkcję pierwotną definiował za pomocą całki oznaczonej z drugiej strony wzór Newtona Leibniza ułatwia obliczanie całek oznaczonych a do niego przydatna jest umiejętność liczenia całek nieoznaczonych

Mariusz: Jack 0. Wiesz coś o ciągach ? Umiesz liczyć granice i pochodne ? Szeregi także mogą się przydać 1. Co to jest funkcja pierwotna, funkcja podcałkowa ? 2. Podstawowe metody całkowania − liniowość całki − całkowanie przez części − całkowanie przez zamianę zmiennych 3. Wyprowadzenie przydatnych wzorów redukcyjnych np ∫sinⁿ(x)dx ∫cosⁿ(x)dx ∫tanⁿ(x)dx

	dx
∫
	(1+x2)n

4. Całkowanie funkcji wymiernych dzielenie wielomianów,rozkład na sumę ułamków prostych, skorzystanie z wzoru redukcyjnego przy całkowaniu ułamków prostych lub dzielenie wielomianów, wydzielenie części wymiernej całki , rozkład na sumę ułamków prostych Rozkład na sumę ułamków prostych będzie łatwiejszy po wydzieleniu części wymiernej całki bo mianownik nie będzie zawierał pierwiastków wielokrotnych

	L(x)
∫		dx
	M(x)

1. deg L(x) ≥ deg M(x) L(x)=W(x)M(x)+R(x)

	L(x)		R(x)
∫		dx=∫W(x)dx+∫		dx
	M(x)		M(x)

2. (deg R(x) < deg M(x))⋀gcd(M(x),M'(x))≠const

	R(x)		R1(x)		R2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

M₁(x)=gcd(M(x),M'(x)) M(x)=M₁(x)M₂(x) deg R₁(x) < deg M₁(x) deg R₂(x) < deg M₂(x) Liczniki znajdujesz metodą współczynników nieoznaczonych czyli za współczynniki wielomianów przyjmujesz współczynniki literowe i różniczkujesz powyższą równość aby je obliczyć 3. (deg R₂(x) < deg M₂(x))⋀gcd(M₂(x),M₂'(x))=const Niech M₂(x)=(x−a₁)(x−a₂)*...*(x−a_k) (x²+p₁x+q₁)(x²+p₂x+q₂)*...*(x²+p_mx+q_m)

	R2(x)		A1		A2		Ak
∫		dx=∫		dx+∫		dx+...+∫		dx
	M2(x)		x−a1		x−a2		x−ak

	B1x+C1		B2x+C2
+∫		dx+∫		dx
	x2+p1x+q1		x2+p2x+q2

	Bmx+Cm
+...+∫		dx
	x2+pmx+qm

	Bx+C
Aby policzyć całkę ∫		dx
	x2+px+q

	p		p2
możesz pomocniczo zastosować podstawienie (x+		)2=(q−		)t2
	2		4

Do całkowania funkcji wymiernych przydają się podstawy algebry 5 Całki ∫R(x,√ax²+bx+c)dx Rozpatrzmy dwa przypadki Gdy a>0 możemy zastosować podstawienie √ax²+bx+c=t−√ax ax²+bx+c=t²−2√atx+ax² bx+c=t²−2√atx 2√atx+bx=t²−c x(2√at+b)=t²−c

	t2−c
x=
	2√at+b

	2√at2+bt−√at2+√ac
t−√ax=
	2√at+b

	√at2+bt+√ac
√ax2+bx+c=
	2√at+b

	2t(2√at+b)−2√a(t2−c)
dx=		dt
	(2√at+b)2

	√at2+bt+√ac
dx=2		dt
	(2√at+b)2

	t2−c
x=
	2√at+b

	√at2+bt+√ac
√ax2+bx+c=
	2√at+b

	√at2+bt+√ac
dx=2		dt
	(2√at+b)2

Gdy a<0 możemy założyć że b²−4ac>0 w przeciwnym razie trójmian pod pierwiastkiem przyjmowałby stale wartości ujemne Stosujemy podstawienie √ax²+bx+c=(x−x₁)t √a(x−x₁)(x−x₂)=(x−x₁)t a(x−x₁)(x−x₂)=(x−x₁)²t² a(x−x₂)=(x−x₁)t² ax−ax₂=xt²−x₁t² ax−xt²=ax₂−x₁t² x(a−t²)=ax₂−x₁t²

	ax2−x1t2		ax2−ax1+ax1−x1t2
x=		=
	a−t2		a−t2

	a(x2−x1)
x=x1+
	(a−t2)

	a(x2−x1)t
(x−x1)t=
	(a−t2)

dx=−a(x₂−x₁)(a−t²)⁻²(−2t)dt

	a(x2−x1)t
dx=2		dt
	(a−t2)2

	ax2−x1t2
x=
	a−t2

	a(x2−x1)t
√ax2+bx+c=
	(a−t2)

	a(x2−x1)t
dx=2		dt
	(a−t2)2

6. Całki postaci ∫x^m(a+bxⁿ)^pdx m,n,p ∊ℚ I p∊ℤ t^s=x s=nww(mianownik m, mianownik n)

	m+1
II		∊ℤ
	n

t^s=a+bxⁿ s=mianownik p III

m+1
	+p∊ℤ
n

	a+bxn
ts=
	xn

s=mianownik p 7. Całki postaci ∫R(e^x)dx Podstawienie t=e^x się narzuca do tej postaci sprowadzają się całki z hiperbolicusami R(sinh(x),cosh(x)) 8. Całki postaci ∫R(sin(x),cos(x))dx

	x
Podstawienie t=tan(		) sprowadzi całkę do całki z funkcji wymiernej
	2

Argument tangensa można przesunąć o stałą wartość

	x
tzn podstawienie t=tan(		+φ) gdzie φ=const
	2

nadal będzie się nadawało do sprowadzenia całki postaci ∫R(sin(x),cos(x))dx do całki z funkcji wymiernej 9. Całkowanie szeregami i sprowadzanie całek do znanych funkcji nieelementarnych takich jak funkcja Γ , funkcje eliptyczne , funkcja całkowo wykładnicza, funkcja błędu, sinus i cosinus całkowy , sinus i cosinus Fresnela, logarytm całkowy, polilogarytm , itp

Mariusz: Co do 2 Liniowość całki wynika bezpośrednio z liniowości pochodnej Wzór na całkowanie przez części wynika z wzoru na pochodną iloczynu Wzór na całkowanie przez zamianę zmiennych wynika z wzoru na pochodną złożenia Jeśli chcesz zobaczyć jak to wprowadzają w książkach to w sieci są dostępne http://matwbn-old.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=15&wyd=10&jez=pl http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/rachunek.html