dowodzik Benny: Jak pokazać, że nie istnieje n takie, że n²+n=20t+4, gdzie t,n∊N Mój pomysł: n²+n−4=20t

	−1−√17		−1+√17
(n−		)(n−		)=20t, sprzeczność, bo po lewej jest iloczyn liczb
	2		2

niewymiernych, lecz wydaje mi się to bez sensu. Może jakiś dowód, że to nie jest podzielne przez 20, bez indukcji.

JC: popatrz na ostatnią cyfrę liczby n²+n−4

Benny: Nie rozumiem w jaki sposób.

JC: O, zmienił Ci się kolor! Podstaw liczby od 0 do 9.

benny: Ten pomysl odpada, bo to jest tylko czesc dowodu. Twoim sposobem musialbym skorzystac z tezy, krora mam udowodnic

Rafał: k − naturalne 1) n≡0 (mod 20)⇒n²≡0²=0 (mod 20)⇒n²+n≡0+0=0 (mod 20) 2) n≡1 (mod 20)⇒n²≡1²=1 (mod 20)⇒n²+n≡1+1=2 (mod 20) 3) n≡2 (mod 20)⇒n²≡2²=4 (mod 20)⇒n²+n≡4+2=6 (mod 20) 4) n≡3 (mod 20)⇒n²≡3²=9 (mod 20)⇒n²+n≡9+3=12 (mod 20) ... 19) n≡19 (mod 20)⇒n²≡19²=361≡1 (mod 20)⇒n²+n≡1+19=20≡0 (mod 20)

Rafał: Za każdym razem reszta z dzielenia liczby n²+n przez 20 jest różna od 4.

benny: Tak myslalem, ze to z modulo mozna, ale to na poziomie liceum musi byc

Rafał: Ewentualnie możesz zapisywać n w postaci n=20t+k, k=0,1,2...19. Na przykład dla k=5 mamy n²+n=(20t+5)²+20t+5=400t²+200t+25+20t+5=400t²+220t+30=20(20t²+11t+1)+10, czyli reszta 10.

Rafał: Algorytm żmudny, ale nic innego mi nie przychodzi do głowy.

benny: kurcze, moze ktos inny wpadnie na jakis pomysl. Zastanawia mnie moj pomysl, bo dla koncowek 2,4,7,9 nie istnieja takie n i iloczyn po lewej jest iloczyne liczb niewymiernych, a dla reszty takie n istnieje i mozemy lewa strone rozlozyc na iloczyn liczb naturalnych

Rafał: Algorytm można uprościć − zauważ, że reszta z dzielenia przez 20 liczby (20t+k)²+20t+k=400t²+40tk+k²+20t+k=400t²+40tk+20t+k²+k=20(20t²+2tk+t)+k²+k przez 20 to reszta z dzielenia liczby k²+k przez 20, ale k=0,1,2,3...19. Prościej się chyba nie da.

Rafał: Podstawiamy za k kolejne liczby naturalne od 0 do 19 i sprawdzamy, czy liczba k²+k przy dzieleniu przez 20 daje kiedyś resztę 4.

Rafał: Ostatecznie szłoby rozwiązanie tak: Dowolną liczbę naturalną n można zapisać w postaci n=20m+k, gdzie m∊N, k∊{0,1,2,3...19}. Niezależnie od wartości zmiennych m i k, liczba n²+n przy dzieleniu przez 20 nigdy nie daje reszty 4. Istotnie: reszta z dzielenia liczby (20m+k)²+20m+k przez 20 to jednocześnie reszta z dzielenia liczby k²+k przez 20 (dowód w poście wyżej), czyli wystarczy sprawdzić reszty z dzielenia przez 20 liczb 0²+0, 1²+1, 2²+2, .... 19²+2, by się o tym przekonać. Żadna z wymienionych liczb przy dzieleniu przez 20 nie daje reszty 4, co kończy dowód.