liczby pierwsze v33xt: podaj wazystkie liczby naturalne p, dla których 2p−1 i 2p+1 to liczby pierwsze. jakiś sposób? narazie widzę 2 i 3, sa jeszcze jakieś inne przypadki?

Jack: zadanie konkursowe ?

v33xt: zwykła lista z liceum

v33xt: pierwsze*, źle napisałem

Janek191: p = 6

Janek191: p = 15

v33xt: @up wszystkie pierwsze, dla których 2p+1 i 2p−1 też sa pierwsze

Janek191: Podaj wszystkie liczby pierwsze p, dla których 2p − 1 i 2p + 1 to .... ?

v33xt: tak, dokładnie − 2p−1 i 2p+1 to też liczby pierwsze, narazie tylko 2 i 3 wychwyciłem

v33xt: a trzeba podać liczbe p, która spełnia tę zależność

Janek191: To masz p = 2 lub p = 3.

v33xt: no to widzę, a moje pytanie brzmi następujaco: czy istnieja inne liczby, o których nie wiem, że spełniaja ten warunek?

PW: Tak to jest, gdy zamiast podać dokładnie treść zadania, jednym tchem snuje się przypuszczenia.

v33xt: Jeszcze raz podaję dokładnie: podaj wszysrkie liczby pierwsze p, dla których 2p−1 oraz 2p+1 to też liczby pierwsze. Czy sa jakieś inne niż 2 i 3?

PW: (2p−1), 2p, (2p+1) to trzy kolejne liczby naturalne. Wśród nich jest jedna podzielna przez 3. Gdyby tą podzielną przez 3 miała być środkowa liczba 2p, to p musiałaby być wielokrotnością 3. Ponieważ ma być liczbą pierwszą, to musi być p = 3. Co dalej?

Saizou : a czy to czasem nie jest trochę przerobiona hipoteza liczb bliźniaczych ?

PW: Poszedłbym dalej tym samym tropem. Jeżeli podzielna przez 3 jest liczba (2p−1), czyli dla pewnej naturalnej k 2p − 1 = 3k, to 2p + 1 = 3k +2 i w konsekwencji (2p − 1)(2p + 1) = 3k(3k+2); lewa strona jest iloczynem 2 liczb pierwszych, a więc po prawej musi być k = 1 skąd 2p − 1 = 3•1 p = 2.

PW: Przedobrzyłem. Wystarczyło 2p − 1 = 3k ⇒ k = 1 (bo lewa strona jest liczbą pierwszą), stąd 2p − 1 = 3, czyli p = 2.