Granica funkcji w punkcie Jk: Witam, potrzebuję pomocy w dziale granicja funkcji w punkcie, iż przez jedną lekcje nic nie zrozumiałem.. Zad. Uzasadnij, że: funkcja f(x) = ³_x+7 ma w punkcie x₀=5 granice równą¹₄

Mila: Funkcja jest określona jednym wzorem i x=5∊D

	3		3		3		1
limx→5		=		=		=
	x+7		5+7		12		4

Mila: A może trzeba z definicji? Co miałeś na tej lekcji?

Jk: Miałem tylko wprowadzenie do tego i tą definicję "Liczba g jest granicą funkcji f..." ale totalnie nic z niej nie rozumiem, dlatego nie wiem jak sie zabrać za to zadanie, iż tylko jedną lekcje o tym mielismy i jeden przykład

PW: Chyba że idzie o wykazanie tego z definicji ...

PW: O, zanim zrobiłem kawę, to sprawa się wyjaśniła ...

Saizou : PW o tej godzinie kawę ? Musisz pokazać ze dla |x−x₀|<δ ⇒ |f(x)−g|<ε, tzn

	3		1
|x−5|<δ ⇒ |		−		|<ε
	x+5		4

Mila: Czy taka była definicja? Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w punkcie x₀, jeżeli dla każdego ε > 0 istnieje takie δ > 0, że dla każdego x spełniającego nierówność 0 < |x − x₀| < δ jest spełniona nierówność |f(x) − g| < ε.

Jk: Czyli z tego co rozumiem podany wzór jest odp?

Mila: Zostawiam problem młodym.

Jk: Definicja: Liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x₀, jeśli dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x₀, o wyrazach nalezacych do dziedziny funkcji f i roznych od x₀, ciag (f(x_n)) jest zbiezzny do g.

Saizou : Poprawiam zapisy i pisze rozwiązanie

	3		1		12−x−7		−x+5		x−5
|		−		|=|		|=|		|=|		|
	x+7		4		4(x+7)		4(x+7)		4(x−5+12)

korzystając z nierówności 0<|x−5|<δ oraz |a+b|≤|a|+|b| otrzymujemy oszacowanie

	x−5		δ		δ		δ
|		|≤		≤		=
	4(x−5+12)		4|x−5|+4|12|		4·12		48

	3		1
wystarczy wziąć δ=48ε i mamy |		−		|<ε
	x+7		4

	3		1
z dowolności ε otrzymujemy że granica		=		przy x→5
	x+7		4

Jk: Dziękuję za pomoc i poświęcenie, bo w życiu bym tego nawet nie ruszył

Saizou : Pytanie czy to rozumiesz ?

Mila: Saizou, miał definicję Heinego.

Saizou : Ale definicja Heinego jest niepraktyczna do pokazywania że granica istnieje

Mila: Teraz nauczyciele często podają definicję Heinego. Ja praktycznie bardzo rzadko z niej korzystałam. Chyba, że było takie polecenie.

Metis: