Nierówność
Kuba: Witam serdecznie, mam taką oto nierówność:
√(8−x) > x−6
Zrobiłem tak:
8 >= x
√(8−x) > x−6 / * √(8−x)
8 − x > √(x−6)2 * √(8−x)
Prawą stronę wrzucam pod pierwiastek itd.
x3 − 20x2 + 131x − 280 > 0
W(5) = 0
Dzielę wielomian przez x − 5
(x2 − 15x + 56)(x − 5) > 0
Miejsca zerowe:
x1 = 7
x2 = 8
x3 = 5
I tutaj pojawia się moje pytanie, wolfram alpha pokazuje mi, że rozwiązaniem jest przedział od
minus nieskończoności do 7.
O ile 7 rozumiem to dlaczego minus nieskończoność?
27 wrz 22:35
Antonni: Dobre
27 wrz 22:38
ICSP: co się dzieje w momencie :
8 − x ≥
√(x − 6)2(8 − x)
|
v
x
3 − 20x
2 + 131x − 280 > 0
27 wrz 22:42
ICSP: i dodatkowo odpowiadając na twoje pytanie:
x − 6 ≠ √(x−6)2
tu masz błąd.
27 wrz 22:43
Kuba: 8 − x > √( x2 − 12x +36) (8 − x )
8 − x > 8x2 − x3 −96x + 12x2 + 288 − 36x
8 − x > 20x2 − x3 − 132x + 288
0 > − x3 + 20x2 − 131x + 280
27 wrz 22:47
PW: Dziwacznie to zrobiłeś.
Należy zauważyć na początek, że dla x ≤ 6 prawa strona jest niedodatnia, a więc nierówność jest
spełniona.
Mamy już część zbioru rozwiązań: x∊(−∞, −6>.
Dla pozostałych x, czyli dla x∊(−6, 8>, podnosimy obie strony nierówności do kwadratu
(otrzymujemy nierówność równoważną, bo obie strony nieujemne) i w ten sposób rzecz kończy się
na nierówności kwadratowej.
27 wrz 22:48
Kuba: Goddamn, faktycznie
Bo potęga pod pierwiastkiem równa jest wartości bezwzględnej
27 wrz 22:49
ICSP: czyli pierwiastek nagle znika ?
√8 − x > x − 6 przy założeniu x ≤ 8
Jeżeli tylko x < 6 to nierówność jest spełniona. Dla pozostałych podnosimy ją stronami do
kwadratu:
8 − x > x2 − 12x + 36
x2 − 11x + 28 < 0
(x − 7)(x − 4) < 0
x ∊ (4 ; 7) i x ≥ 6 ⇒ x ∊ [6 ; 7)
Ostatecznie
x < 7
27 wrz 22:51
PW: Korekta: powinno być oczywiście x∊(−∞,6> i x∊(6,8>
27 wrz 22:52
Kuba: Gapa ze mnie!
Dziękuję bardzo za pomoc, już ogarniam ^^
27 wrz 22:53
Mila:
√8−x>x−6
8−x≥0⇔
x≤8
1) x≤8 i x−6≥0 wtedy możesz podnieść obie strony do kwadratu
x∊<6,8>
√8−x>x−6 /
2
8−x>x
2−12x+36
x
2−11x+28<0
Δ=121−112=9
x=4 lub x=7
x∊(4,7)∧x∊<6,8>⇔
x∊<6,7)
dla x<6 wyrażenie jest ujemne natomiast
√8−x>0 zatem nierówność jest spełniona w
przedziale
(−
∞,6)∪<6,7)=(−
∞,7)
odp. x<7
27 wrz 22:55
piotr: x∊(−∞, −6> ∪ (8−x>x2−12x+36 ⇒ 4<x<7) ⇒ x<7
27 wrz 23:02