Napisz równanie płaszczyzny olek: Napisz równanie prostej l równoległej do płaszczyzny α:3y−3z=5, nachylonej do płaszczyzny

	π
β:x+2y+3z=4 pod kątem φ=		. Prosta ma przechodzić przez punkt P=(3,2,1)
	3

Taki rysunek nam profesor podał mniej więcej, kąty wiadomo greckimi literami, na rysunku tylko tak zaznaczyłam. Proszę o pomoc...

olek: kat φ to 1 na rysunku

olek: proszę, niech ktoś pomoże....

Jack: α : 0x + 3y − 3z = 5 β: x + 2y + 3z = 4 Skoro prosta ma przechodzić przez punkt P(3,2,1) to jej równanie wyraża się wzorem :

x−3		y−2		z−1
	+		+		gdzie [A,B,C] to wektor kierunkowy naszej prostej.
A		B		C

skoro prosta ma być równoległa do płaszczyzny α to musi być prostopadła do wektora normalnego tej płaszczyzny. zatem { [0,3,3] o [A,B,C] = 0 3B + 3C = 0 B + C = 0 Teraz skoro ta prosta ma być pod jakimś kątem no to tak: wiemy, że musimy znaleźć kąt oznaczy (1) na rysunku, a z wektorów można zbadać jedynie kąt oznaczony (2) zatem (1) = 90^o − (2) zatem cos (90 − (2)) = sin (2) = sin pi/3

	π		[1,2,3] o [A,B,C]
sin		=
	3		|1,2,3| * |A,B,C|

stad mamy uklad rownan : {B+C = 0

	√3		A+2B+3C
{		=
	2		√14 * √A2+B2+C2

przyjmijmy, że C = 1(zmieni nam to jedynie długość wektora, my chcemy kierunek) zatem mamy {B + 1 = 0

	√3		A+2B+3
{		=
	2		√14 * √A2+B2+1

A to już nawet nie trudny układ równań do rozwiązania

Jack: ten uklad nie ma rozw... taka prosta nie istnieje? :x

olek: Tam masz bład: powinno być [0,3,−3]o[A,B,C] czyli: 3B−3C=0 −> B=C, to coś zmieni?

Jack: tak, teraz zapewne wyjda rozwiazania

olek:

√3		A+2B+3B
	=
2		√14*√A2+B2+B2

√3		A+5B
	=
2		√14*√A2+2B2

2*(A+5B)=√3*(√14*√A²+2B²) 2A+10B=√42*√A²+2B² /()² 4A²+40AB+100B²=42*(A²+2B²) dobrze..?

Jack: √3 * √14 * √A²+2 = 2A+10 teraz trzeba dodac zalozenie po lewej stronie jest pierwiastek, zatem po prawej liczba musi byc nieujemna, zatem 2A+10≥0 stad A ≥ − 5. Teraz podnosimy do kwadratu. 42*(A²+2) = 4A² + 40A+100 wyjdzie nam takie cos 38A² − 40A − 16 = 0 czyli takie 19A² − 20A − 8 = 0 Δ = ... i wyjda nam 2 rozne A (oba wieksze od − 5) zatem mozemy ulozyc 2 rozne proste

Jack: skoro B Ci wyszlo 1 to je podstaw.

olek: Δ=1008 √Δ=12√7

	20−12√7
A1=
	38

	20+12√7
A2=
	38

	20−12√7		20+12√7
czyli: wektor pierwszy: [		,1,1] i drugi [		,1,1]
	38		38

	x−3		y−2		z−1
prosta l1 :		=		=
	20−12√7   38		1		1

	x−3		y−2		z−1
prosta l2 :		=		=
	20+12√7   38		1		1

Jack:

	20±12√7		10±6√7
mozesz jeszcze skrocic to przez 2. :		=
	38		19

olek: dzięki!

Jack:

ola: taki sam typ zadania, ale cały czas wychodzi mi Δ<0 i nie wiem czy cos robie źle czy o co chodzi

	π
dane: α:x+2y+3z=4, β:3y−2z=5, kąt(l,β)=		i punkt P(0,0,0)
	3

n_α=[1,2,3] n_β=[0,3,−2] rozumiem, że mogą być 3 przypadki wektora prostej l? 1) l₁=[1,b,c] 2) l₂=[a,1,c] 3) l₃=[a,b,1] i w każdym przypadku wychodzi mi ujemna delta...

Jack: Prosta l ma rownanie

x − 0		y − 0		z − 0		x		y		z
	+		+		czyli		+		+
A		B		C		A		B		C

Dlaczego 3 przypadki? tylko 1 przypadek... mamy wektor [A,B,C] gdzie C moze byc dowolne bo odpowiada za dlugosc wektora, (byleby rozne od zera) Najlatwiej do liczenia jest na 1, wiec C = 1 wiec nasz wektor to [A,B,1] miales taki wektor?

Jack: kontynuując : ... {A + 2B + 3 = 0

	√3		3B − 2
{		=
	2		√13 * √A2 + B2 + 1

ola: hmm profesor nam powiedział że są 3 rozwiązania tego zadania.. może dlatego tak pomyślałam [1,2,3]*[a,b,1]=0 a+2b+3=0 a=−2b−3

√3		[0,3,−2]*[−2b−3,b,1]
	=
2		√02+22+32*√(−2b−3)2+B2+1

√3		3B−2
	=
2		√13*√4b2−12b+9+b2+1

√3		3B−2
	=
2		√13*√5b2−12b+10

√39*√5b²−12b+10=6b−4 /()² 39*(5b²−12b+10)=36b²−48b+16 195B²−468B+390−36b²+48b−16=0 159B²−516B+374=0 Δ=266256−237864=28392=26√42 chyba wyszło, w końcu gdzieś musiałam mieć bład w rachunkach a robiłam to ze 3 razy!

ola:

	2
+ założenie 6b−4≥0 ⇒ b≥
	3

Jack: (−2B−3)² = (2B+3)² = 4B² + 12B + 9 Czemu masz u siebie minus? przy 12B ?

ola: faktycznie, mój błąd....

Jack: aczkolwiek wtedy ten uklad nie ma rozwiazan ; o

ola: ma rozwiązanie: 39*(5b²+12b+10)=36b²−48b+16 195b²+468b+390−36b²+48b−16=0 159b²+516b+374=0

jc: Płaszczyzny są prostopadłe. Zadanie musi mieć proste rozwiązanie.

ola: Δ=28392

Jack: chyba ja cos sknocilem...

Jack: a juz wiem gdzie mialem blad, najwazniejsze ze ola wie juz oco chodzi

Jack: ola albo olek, którz to wie

ola: dzięki jeszcze raz!

Jack: jc jak myslisz oco chodzi z tymi 3 rozwiazaniami?

jc: Myślę, że to bzdura. Chodzi o dodatkowe równanie. Ja bym wybrał A²+B²+C²=1. Przecież nie wiadomo, czy akurat 1 nie powinno być zerem. A rozwiązania mogą być dwa (kąt miedzy płaszczyznami większy od zadanego), jedno (równy) lub wcale (mniejszy). Na pewno nie trzy.

Jack: a skad to A² + B² + C² = 1 bo nie za bardzo rozumiem

Jack: chyba ze Ci chodzi o dlugosc wektora = 1

Antonni: fajna zabawa Nam profesor powiedzial ze .... To juz sie zaczely zajecia na uczelniach ?

ola: kampania wrześniowa

jc: Jeden kierunek jest wyznaczony przez nieskończenie wiele wektorów (A,B,C) ≠ 0. Dodatkowe równanie zmniejsza liczbę wektorów. Wybór (1,B,C) daje jeden jeden właściwy wektor, ale może nic nie dać, jeśli akurat A=0. Unormowanie do 1 daje dwa wektory (wybieramy jeden). Ma jednak inną zaletę.Układ równań wygląda ładniej!

Jack: jc czyli wlasciwie mozna by zrobic ? Gdyby nie brac za C = 1. {A+2B+3C = 0 {A²+B²+C² = 1

	√3		3B − 2C
{		=
	2		√13 * √A2+B2+C2

jc: W trzecim równaniu pod pierwiastkiem w mianowniku znajdzie się liczba jeden. A+2B+3C = 0 3B − 2C = √39 /2 A²+B²+C² = 1 Korzystając z dwóch pierwszych równań, wyrażamy dwie niewiadome przez trzecią. Potem podstawiamy wszystko do trzeciego równania i mamy równanie kwadratowe z jedną niewiadomą. Równanie na pewno wygląda tak, rozwiązywane wyżej.

jc: 2A + 13 B = 3 √39 /2 3A − 13 C = − √39 B =(3 √39/2 − 2A) /13 C =(√39 + 3A)/13 Po podstawieniu A² + (3 √39/2 − 2A)² /13² + (√39 + 3A)²/13² = 1 Może coś pomyliłem, bo liczby wychodzą straszne