Całka niewłaściwa - dziedzina. Maria: ∫1/√x²+2x+2 dx= Górna granica ∞, dolna −∞. Delta wychodzi −4. No i co z tym dalej?

Benny: x²+2x+2=(x+1)²+1 i masz na to wzór lub sobie go wyprowadź podstawiając x+1=sinhz dx=coshz z=arsinh(x+1)

	coshz		coshz
∫		dz=∫		dz=∫dz=z+C
	√sinh2z+1		√cosh2z

Mariusz: Jeśli chodzi o podstawienia to można bez area cudów √ax²+bx+c=t−√ax , a>0 √ax²+bx+c=(x−x₁)t a<0 Mamy ∞−∞ co z tym zrobisz Benny , nieoznaczoną można policzyć nawet bez tych area cudów

Maria: Nie czaje. Czyli za t √x² ?

jc: Przecież Benny policzył już całkę. Wystarczy powrócić do zmienne x. x+1 = u = sinh z = (e^z − e^−z)/2 e^2z − 2 u e^z − 1 = 0 e^2z − 2 u e^z + u² = 1+ u² e^z + 1= ±√1+ u² (wybieramy +) z = log (√1+ u² −1) = log (√x²+2x+2 − 1)

Maria: przepraszam a co to jest h?

zef: cosh(x) = cosinus hiperboliczny po zmiennej x

Maria: nie miałam tego

jc: sinh z= (e^z − e^−z)/2 Sinus hiperboliczny. Z nieznanych mi powodów matematycy nie mówią o nim studentom. cos² + sin² t = 1, (cos t, sin t) punkty na okręgu cosh² t − sinh² t = 1, (cosh t, sinh t) punkty na hiperboli

Kacper: Na coraz mniejszej liczbie uczelni uczy się wyższej matematyki

Maria: Ok, dziękuję.

jc: A całki to jaka matematyka? Funkcje hiperboliczne mają ważne zastosowania poza matematyką.

Kacper: Ale jest to robione "na odwal się". Wielu studentów nawet o podstawieniach Eulera nie słyszało.

Mariusz: Jak ja chodziłem to całki były jeszcze w średniej Jak masz całki ∫R(x,√ax²+bx+c)dx to podstawieniami √ax²+bx+c=t−√ax a>0 √ax²+bx+c=(x−x₁)t a<0 (tutaj możemy założyć że b²−4ac>0) sprowadzamy je do całek z funkcji wymiernych które już umiemy całkować Chociaż dwa powyższe podstawienia wystarczą do policzenia całek postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx to istnieje jeszcze jedno podstawienie √ax²+bx+c=xt+√c c>0 które czasem może dawać całkę wymagającą mniej obliczeń

Mariusz:

	1
∫		dx
	√x2+2x+2

√x²+2x+2=t−x x²+2x+2=t²−2tx+x² 2x+2=t²−2tx 2tx+2x=t²−2 x(2t+2)=t²−2

	t2−2
x=
	2t+2

	2t2+2t−t2+2
√x2+2x+2=t−x=
	2t+2

	t2+2t+2
√x2+2x+2=
	2t+2

	2t(2t−2)−2(t2−2)
dx=		dt
	(2t+2)2

	2t2−4t+4
dx=		dt
	(2t+2)2

	2t+2	2(t2+2t+2)
∫			dt
	t2+2t+2	(2t+2)2

	dt
=∫		=ln|t+1|+C
	t+1

ln|x+1+√x²+2x+2| lim_x→∞ln|x+1+√x²+2x+2|−lim_x→−∞ln|x+1+√x²+2x+2|

	1
=limx→∞ln|x+1+√x2+2x+2|+limx→−∞ln|		|
	x+1+√x2+2x+2

=lim_x→∞ln|x+1+√x²+2x+2|+

	√x2+2x+2−(x+1)
limx→−∞ln|		|
	(x2+2x+2)−(x2+2x+1)

=lim_x→∞ln|√x²+2x+2+x+1|+lim_x→−∞ln|√x²+2x+2−x−1| =∞

jc: Teraz zauważyłem granice. W ogóle nie trzeba było nic liczyć. Od początku było jasne, że wynikiem jest ∞.

Mariusz: Przyda się uzasadnienie dlaczego nie trzeba liczyć

jc: Funkcja podcałkowa > 0. Dla x >1, funkcja podcałkowa > 5^−1/2 x⁻¹.