nierówność
wujo: Dla dodatnich a,b,c,d pokaz ze
4(ab + cd)(ac + bd)≥(b + c + d − a)(c + d + a − b)(d + a + b − c)(a + b + c − d).
25 wrz 13:21
Jack: Hmmm
nwm czy to cos da, ale prawa strona :
(b + c + d − a)(c + d + a − b)(d + a + b − c)(a + b + c − d) =
= [(c+b)2 − (d−a)2][(d+a)2 − (c−b)2]
25 wrz 15:08
wujo: No mozna tak kombinować ale oby to coś dało
25 wrz 15:10
Jack: wlasciwie te prawa strone mozna rozbic na co najmniej 2 sposoby
25 wrz 15:11
wujo: Ale chodzi o to aby wykazać tę nierówność
25 wrz 15:14
wujo: moze ktoś ma na to sposób
25 wrz 16:10
jc:
Jak przejdziesz do zmiennych
x=b+c+d−a, y=c+d+a−b, z=d+a+b−c, u = a+b+c−d
to otrzymasz
(xy+zu)(xz+yy)/4 ≥ xyzu
Dla nieujemnych x,y,z, u, nierówność jest oczywista. To wymnożone dwie nierówności
pomiędzy średnimi. A jak jest w ogólnym przypadku?
25 wrz 16:35
jc: (xy+zu)(xz+yu)/4 ≥ xyzu
25 wrz 16:41
jc: p = iloczyn po prawej stronie nierówności
4(ab+cd)2 = p + (a2 + b2 − c2 − d2)2 ≥ p
4(ac+bd)2 = p + (a2 + b2 − c2 − d2)2 ≥ p
16(ab+cd)2(ac+bd)2 ≥ p2
4 (ab+cd)(ac+bd) ≥ |p| ≥ p
(sumy w nawiasach po lewej stronie są nieujemne)
25 wrz 16:56