Zespolone Jack: Obliczyc √−3 − 4i = ? no wiec niech z = √−3−4i wiemy, ze z=x+iy zatem x+iy = √−3−4i /² x²+2xyi − y² = − 3 − 4i i stad mam uklad rownan {x² − y² = − 3 {2xy = − 4 i jak najprosciej rozwiazac ten uklad zeby nie bawic sie wielomianem 4 stopnia. Bo np. p. krystian z e−trapez to stosuje pewien "patent" dodajac pewne rownanie jednakze pomija wyprowadzanie tego i ja raczej bym wolal wiedziec dlaczego cos sie robi... zatem Jak rozwiazac owy uklad rownan?

Benny: Mi zawsze udawało się trafić x=1 y=−2

Jack: no a co jesli jest wiecej rozwiazan?

Jack: dobra, to moze powiem o tym "patencie" i ktos bedzie mi w stanie go wytlumaczyc wiec dodajemy rownanie x² + y² = √(−3)² + (−4)²

Jack: i to rozwiazuje nam odrazu rownanie bo z pierwszego wyznaczamy x² albo y² i pozamiatane

jc: Jack, równanie z² = a+bi ≠ 0 ma dokładnie dwa rozwiązania różniące się znakiem. Twój sposób nie jest zły. x² − y² = a 2xy = b Do tych równań można dodać trzecie (porównujemy moduły). x² + y² = |a+bi| Teraz łatwo wyliczyć x², y², a potem x, y. Trzeba tylko pamiętać, że znak xy jest taki sam, jak znak b.

Jack: moze p. Mila by wiedziala?

Saizou : dodaje do układu równań moduł liczby zespolonej |z|²=x²+y²

Mariusz: Można przejść na postać trygonometryczną Na funkcje trygonometryczne kąta połówkowego jest wzorek

Jack: hmm... tylko ja tu nie czaje o co chodzi z tym porównaniem modułów?

jc: (x+iy)² = a + bi Moduł lewej strony = x² + y². Moduł prawej strony = √a²+b²

Jack: a no faktycznie. bo to jest po prostu modul z zapisu z = x+iy i potem obustronnie do kwadratu... Dziekuje wszystkim

Jack: niby rozumiem ale poki co jeszcze mnie to nie przekonuje : D

Saizou : x²−y²=−3 2xy=−4 ======= podnosząc do kwadratu i dodając (x²−y²)²+(2xy)²=25 x⁴−y⁴=25 (x²+y²)(x²−y²)=25 −3(x²+y²)=25

	25
x2+y2=−
	3

a teraz już coś się rozjaśniło ?

Mila: Ja rozwiązuję tak, jak Ty. Nie przepadam za tym drugim sposobem, rozwiązujesz równanie w zbiorze R i to upraszcza problem. W tym przypadku zapamiętaj, że: (−3−4i)=(1−2i)² =(−1+2i)²

	π
często przydaje się, bo dokładnego argumentu ( typu		itp) nie możesz wyznaczyć.
	3

zombi: Już ci rozpisuje wszyściuteńko

Jack: @Saizou ale twoim sposobem

	25
x2+y2 = −
	3

a tymi modułami mam x² + y² = 5

Jack: @Milu Ciezko mi jest zauwazyc ze (−3−4i) = (1−2i)² moze dlatego ze dopiero zaczynam czytac o zespolonych a moze dlatego ze po prostu nie widze takich zaleznosci. Idac tym tropem z = √(1−2i)² z = 1 − 2i i tutaj jeszcze drugi przypadek jest pewnie czyli z = − 1 + 2i no wtedy faktycznie wyjdzie odrazu tez.

Jack: co do postu Saizou dlaczego w (x²+y²)² wyszlo Ci x² − y²

zombi: Z porównania jak wyżej tj. √a+ib = x+yi, podnosząc do kwadratu oczywiście dostajemy układ równań

⎧	x2−y2 = a
⎩	2xy = b

No dobra, ale nie fajnie wygląda rozwiązywanie takiego układu, tzn. da się (przysłowiowo trochę "na pałę"), ale nie jest to najbardziej elegancki sposób. Ktoś wpadł na triczek z dodaniem członu x²+y², pewnie w związku z równaniem 2xy=b, żeby zwinęła nam się jedna strona do (x+y)². No dobra, ale bez sensu jest dodawanie ekstra członu skoro nic nie wnosi. Ale zaraz, przecież możemy próbować odgadnąć związek między modułami! Bo przecież x²+y² = |x+yi|². Ponadto jeszcze wykorzystajmy powiązanie między modułami liczb x+yi i a+bi. |x+yi| = |√a+bi| ⇔ |x+yi| = √|a+bi| ⇔ |x+yi|² = |a+bi|, no ale a i b znamy, więc możemy policzyć nasz człon, który dodajemy! Podwójny sukces układ upraszcza nam się do postaci 2x² = a + |a+bi| (x+y)² = b + |a+bi|.

zombi: niefajnie*

zombi: Chyba nie gadam głupot A jeśli tak to proszę Milu usuń mój post

Jack: no dobra, to znam teraz 2 sposoby na rozwiazywanie tego typu zadan Dziekuje wszystkim co podjeli temat

grthx: u²=z (x+yi)²= a+bi (x²−y²)+2xyi= a+bi x²−y²=a 2xy=b

	b
x=
	2y

	b2
x2−		=a
	4x2

Inaczej 4x⁴−b²= 4ax² 4x⁴−4ax²−b²=0 mamy rozwiazania

	a+√a2+b2
x2=		i
	2

	a−√a2+b2
x2=
	2

Tylko piersze x² daje x rzeczywiste

	a+√a2+b2
to x= +/− √
	2

Po wstawieniu x² do rownania x²−y²=a znajdujemy dwa rozwaizania na y

	−a+√a2+b2
y=+/− √
	2

Z otrzymanych dwoch rozwaizan na x i y otrzymujemy 4 pary wartosci x oraz y Wszystkich rozwizan ukladu x²−y²=a 2xy=b mozemy poszukac wsrod tych wlasnie 4 par

	a+√a2+b2		−a+√a2+b2
1. x1= √		y1= √
	2		2

	a+√a2+b2		−a+√a2+b2
2. x2= √		y2=− √
	2		2

	a+√a2+b2		−a+√a2+b2
3. x3= p−√		y3= √
	2		2

	a+√a2+b2		−a+√a2+b2
4. x4= −√		y4= −√
	2		2

Te pary spelniaja rownanie x²−y²=a bo y wyliczylismy z tego rownania Teraz obliczymy iloczyn x₁y−1= x₄y₄= −x₂y₂= −x−3y₃ =

	−a+√a2+b2		1		b		−b
√a+√a2+b2{2}}*√		=		√b2= {		dla b≥0 i		dla
	2		2		2		2

b<0 Tutaj sprawdzamy ktore pary spelniaja ronanie 2xy=b Widzisz stad z eiloczyn znakow x oraz y musi byc taki jak znak b Jezeli b jest ≥0 to 1 i 4 para wartsci x i y spelnia rownanie 2xy=b Jesli b <0 to 2 i 3 para spelnia rownanie 2xy=b Wprowadzmy funkcje sgnb = +1 dla b≥0 i (−1) dla b<0 Wynika z tego z e jedynymi rozwaizaniami ukladu {x²−y²=a i 2xy=b gdy z≠0 sa nastepujace pary wartosci x oraz y

	a+√a2+b2
x=±√		, y= ±sgnb √U{−a+p[a2+b2}{2}}
	2

Stad otrzymujemy wzory na pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej z=a+bi u_1,2= ±√a+√a²+b²{2}}+i sgnb √^{−a+√a2+b2}₂ Np dla liczby z= 1−2i a=1 b=−2 wiec sgn b=−1 dostaniemy

	1+√5		−1+√5
±(p{		−i √		)
	2		2

Oblicz pierwiastki kwadratowe z liczby i i liczby (−i) .

grthx: Poprawisz sobie tam gdzie te pierwiastki sa .

Jack: @Krzysiu wlasnie tego chcialem uniknac, ale dzieki za twoj post przeanalizuje go za momencik.

grthx: Czesc jack Chodzi o to zebys wiedzial skad to sie bierze a i tak najwazniejszy jest ten ostatni wzor ja z niego licze pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej .

Saizou : za długo mam wakacje (x²−y²)²+(2xy)²=25 (x²+y²)²=25 x²+y²=5 (−5 odpada z wiadomych przyczyn )

Jack: patrzac na wszystkie posty jednak bede korzystac ze sposobu Mili jako ze jest najkrotszy (jeden z krotszych) i dla mnie najbardziej logiczny. Jesli tamtym sposobem mi nie bedzie chcialo wyjsc, wtedy przejde do innych

Jack: Udalo sie ! Zad. Zostalo zaliczone tak jak napisalem "w skrocie" Czyli tak jak Ty Milu proponowalas

Mila: Gratulacje.