trójkąt prostokątny, parametryzacja krzywej Mariusz: 1. W trójkącie prostokątnym poprowadzono dwusieczne kątów ostrych Po poprowadzeniu dwusiecznych otrzymaliśmy dwa nowe trójkąty prostokątne Oblicz stosunki długości przyprostokątnych w tych nowych trójkątach mając dane długości dwóch dowolnie wybranych boków w trójkącie w którym poprowadzono dwusieczne 2. Sparametryzuj krzywą y²=ax²+bx+c funkcjami wymiernymi

g:

	α		√tg2α+1−1
1. tg		=
	2		tgα

Mariusz: Kiedyś zef bawił się całkowaniem i te zadania miały przypomnieć o podstawieniach usuwających pierwiastek z trójmianu kwadratowego Co do pierwszego to zastosowanie wzoru na tangens podwojonego kąta prowadzi do równania kwadratowego Z twierdzenia sinusów można było dostać równość pewnych stosunków długości boków Co z drugim zadankiem

g:

	et+f		ht+i
2. spróbowałem x(t)=		, y(t)=		, ale nie wyszło. To znaczy wyszło, ale
	t+g		t+g

tylko dla przypadku b²−4ac=0. Trzeba by popróbować z wielomianami (t) 2−go rzędu.

Mariusz: Co do pierwszego to lepiej byłoby te stosunki wyrazić za pomocą długości boków w tym trójkącie w którym poprowadzono dwusieczne Jeśli chodzi o drugie to można poprowadzić sieczną przez tę krzywą i zobaczyć co da się zrobić

g: 1. Ale przecież tak jest. tgα to stosunek boków trójkąta oryginalnego, tg(α/2) to stosunek boków trójkąta, którego przeciwprostokątna to dwusieczna.

jc: Mariusz, postępujesz tak, jak Diofant. Wybierasz punkt na krzywej. Prowadzisz przez niego prostą o nachyleniu t, współrzędne drugiego punktu przecięcia krzywej z prostą będą funkcjami wymiernymi zmiennej t.

Mariusz: Te zadanka pozwolą uzasadnić podstawienia usuwające pierwiastek z trójmianu kwadratowego oraz wyprowadzić jeśli je zapomnimy Co do wprowadzania rachunku całkowego to widziałem jak jeden zaczynał od ciągu podziałów odcinka , następnie brał granicę sumy pól pod wykresem funkcji na tych podprzedziałach Jednak ta granica musi być równa dla każdego ciągu podziałów odcinka więc jest to mało przydatne w liczeniu Dopiero mając całkę oznaczoną definiował funkcję pierwotną Jak wy wprowadzalibyście rachunek całkowy Jeśli chodzi o rachunek różniczkowy to zakładamy że umiemy liczyć granice te bez de l'Hospitala i zaczynamy od ilorazu różnicowego Prowadzimy sieczne do krzywej ,przy czym jeden punkt przez który prowadzimy sieczne jest ustalony natomiast drugim punktem zbliżamy się do tego ustalonego Liczymy granicę ciągu współczynników kierunkowych tych siecznych to będzie pochodna funkcji w punkcie Należy jeszcze rozpatrzyć takie zagadnienia jak ciągłość i różniczkowalność Jeżeli dla każdego argumentu z dziedziny przyporządkujemy wartość pochodnej w tym punkcie otrzymamy funkcję pochodną Pochodne funkcji takich jak e^x, ln|x|, sin(x),cos(x),tan(x),xⁿ,√x liczymy używając granicy ilorazu różnicowego Uzasadniamy wzorki na pochodne sumy,różnicy,iloczynu,ilorazu i złożenia za pomocą granicy ilorazu różnicowego Zastosowanie rachunku różniczkowego monotoniczność,extrema,reguła de l'Hospitala wypukłość,punkty przegięcia (druga pochodna , pochodna pochodnej)

Mariusz: Z tą parametryzacją to miało wyjść takie coś

	t2−c		√at2+bt+√ac
x(t)=		y(t)=		a>0
	2√at+b		2√at+b

	ax2−x1t2		(x2−x1)t
x(t)=		y(t)=a		a<0
	a−t2		a−t2

(tutaj możemy założyć że b²−4ac>0)

jc: Mariusz, rachunek różniczkowy i całkowy jest niezbędny w fizyce i technice. Jednak stanowi tylko jakiś fragment analizy. Dlatego wolałbym wspomnieć o pochodnej jako o prędkości, regułę de l'Hospitala traktowałbym jako ćwiczenie rachunkowe. Rozumiem, że reguła pozwala na automatyczne liczenie granic przez komputer. Ile razy spotkałeś się z sensownym zastosowaniem? Kolejność od całki do funkii pierwotnej wydaje się najlepsza, ale ze względu na czas i zastosowania odwrotna kolejność nie jest taka zła. W ogóle rachunek różniczkowy i całkowy bez zastosowań poza matematyką wydaje się dziwny, a rozwiązywanie równań różniczkowych zupełnym nieporozumieniem, no chyba że ktoś jest matematykiem. Funkcje elementarne (poza wielomianami i funkcjami wymiernymi) lepiej badać po zaznajomieniu się z pochodnymi, całkami i szeregami (tak robią Mikusiński i Rudin). W ten sposób zyskujemy dużo czasu (mamy dobre definicje i narzędzia). Ja miałem taką kolejność na studiach, ale chyba mało kto tak uczy.

Mariusz: Jeśli chodzi o algebrę liniową to Liczby zespolone * układy współrzędnych kartezjański i biegunowy (przyda się do wprowadzenia postaci algebraicznej i trygonometrycznej część rzeczywista, część urojona , moduł liczby zespolonej, argument liczby zespolonej) * sprzężenie liczby zespolonej *działania na liczbach zespolonych dodawanie i odejmowanie mnożenie i dzielenie (aby podzielić wystarczy rozszerzyć ułamek o sprzężenie mianownika) *wzór de Moivre z uwzględnieniem pierwiastków z jedynki Wielomiany *jedmomian, suma jednomianów, stopień wielomianu itp *działania na wielomianach dodawanie i odejmowanie mnożenie i dzielenie z resztą *schemat Hornera (wartość wielomianu w punkcie, dzielenie przez dwumian , przedstawienie wielomianu w postaci sumy potęg dwumianu) *NWD wielomianów (jeżeli wielomiany są rozłożone na czynniki nierozkładalne nad R to korzystamy z niego w przeciwnym razie bierzemy kolejne reszty z dzielenia) *rozkład wielomianu na czynniki nierozkładalne nad R (do czwartego stopnia włącznie jakoś sobie poradzimy z rozkładem dla stopnia większego niż cztery trzeba skorzystać z funkcji nieelementarnych lub zadowolić się metodami numerycznymi) Rachunek macierzowy Macierz jako tablica liczb , wymiar macierzy dodawanie,odejmowanie i mnożenie macierzy eliminacja Gaussa wyznacznik macierzy, macierz odwrotna, rozkład macierzy (np LU) rząd macierzy układy równań liniowych Co z takimi zagadnieniami jak Wartości i wektory własne Diagonalizacja i postać Jordana macierzy potęgowanie macierzy i exponenta macierzy Trochę algebry przydaje się w analizie

jc: Mariusz, mam wrażenie, że patrzysz ma matematykę, jak na trudniejsze rachunkowo zadania dla studentów. Ze schematem Hornera (poza komputerowymi rachunkami) spotkałem się tylko raz, przy dowodzie twierdzenia Cayleya−Hamiltona.. Pojęcie rzędu macierzy pojawia się raczej tylko przy sformułowaniach twierdzeń. Dodam, że zapewne technicy i fizycy, potrzebują różnych innych rzeczy z matematyki, zupełnie pomijanych na typowych kursach matematyki.

Mariusz: Ciekawi mnie sposób przedstawienia takich zagadnień licealiście wg mnie to co wymieniłem przydaje się w analizie Jeżeli chodzi o wartości własne , wektory własne itp to przydają się w rozwiązywaniu równań i układów równań rekurencyjnych i różniczkowych

jc: Jak przedstawić takie rzeczy w szkole pisze Sawyer w książce Droga do matematyki współczesnej.

Mariusz: jc pisałeś trochę w Pascalu albo chociaż w C to zajrzyj do tematu https://matematykaszkolna.pl/forum/331356.html Wiem że lubisz Pythona jednak Python jest interpretowany a Pascal czy C są kompilowane