liczby naturalne s3v3n:

	n(n+1)(2n+1)
udowodnić że wzór na sumę kwadratów kolejnych liczb naturalnych		jest
	6

poprawny, skorzystaj ze wzoru na sześcian sumy w jaki sposób tutaj znaleźc sześcian sumy? innym sposobem udało mi się to zrozumieć, ale dalej nie widzę tych wzorów

Puma: Widze ze kolezanka /ga to niezly zartownis A jakim innyn sposobem udalo ci sie zrozumiec ?

s3v3n: udało mi się zozumieć polecenia a (bez sześcianu sumy), w przykładzie b trzeba już go zastosować

ICSP: S_n = ∑_{k = 0}ⁿ k² ∑_{k = 0}ⁿ k³ + (n+1)³ = 0 + ∑_{k = 1}^{n + 1} k³ = ∑_{k = 0}ⁿ (k+1)³ =

	3n(n+1)
= ∑k = 0n k3 + 3Sn + 3∑k = 0n k + n +1 = ∑k = 0n k3 + 3Sn +		+ n +
	2

1 Skąd :

	3		1
3Sn = (n + 1)3 −		n(n + 1) − (n + 1) =		(n + 1)[2n2 + 4n + 2 − 3n − 2] =
	2		2

	1
		(n+1)n(2n + 1)
	2

dzieląc stronami przez 3 otrzymujesz szukany wzór.

Mila: Suma kwadratów kolejnych liczb naturalnych: (1) (n+1)³=n³+3n²+3n+1 (2) (n+1)³−n³=(n+1−n)*[(n+1)²+(n+1)*n+n²=1*(3n²+3n+1) ================================ Korzystamy z drugiego wzoru: (n+1)³−n³ Wypisujemy kolejno dla {1,2,3,4,...n} 2³−1³= 3*1² +3*1+1 3³−2³= 3*2² +3*2+1 4³−3³= 3*3² +3*3+1 5³−4³= 3*4² +3*4+1 ........... (n−1)³−(n−2)³=3*(n−2)²+3*(n−2)+1 n³−(n−1)³ =3* (n−1)²+3*(n−1)+1 (n+1)³−n³ = 3*n²+3*n+1 ================ Dodajemy kolumnami: −1+(n+1)³=3*(1²+2²+3²+4²+.....n²)+3*(1+2+3+4+...+n)+1*n

	3*n*(n+1)
(n+1)3−1=3*(12+22+32+42+.....n2)+		+n
	2

	3*n*(n+1)
(n+1)3−1−		−n=3*(12+22+32+42+.....+n2)
	2

	(n+1)3−n−1		3*n*(n+1)
(12+22+32+42+.....+n2)=		−
	3		6

	n3+3n2+3n+1−n−1		3*n*(n+1)
P=		−		=
	3		6

	n3+3n2+2n		3*n*(n+1)
=		−		=
	3		6

	n*(n2+3n+2)		3*n*(n+1)
=		−−		=
	3		6

	2n*(n+1)*(n+2)−3n*(n+1)
=		=
	6

	n*(n+1)*[2n+4−3]
=		=
	6

	n*(n+1)*(2n+1)
=		⇔
	6

	n*(n+1)*(2n+1)
(12+22+32+42+.....+n2)=
	6

==================================

zombi: A ze wzoru na sumowanie przez częśći?

	l(l+1)		n(n+1)
Sn = ∑nk=1 k2 = ∑n−1l=1		(−1) +		*n
	2		2

Powinno wyjść. Sumowanie przez częsci jest tutaj: https://pl.wikipedia.org/wiki/Przekszta%C5%82cenie_Abela

Mila: Zombi w LO to raczej trudno jej będzie.

Saizou : a może indukcja

grthx: Saizou Kolega−kolezanka sposob z indukcja rozumie (tak odpisal w porzednim poscie

Mariusz: Sumowanie przez części jest też na ważniaku ale ja bym z dolnej silni próbował jakoś skorzystać http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Matematyka_dyskretna_1/Wyk%C5%82ad_4:_Sumy_sko%C5%84czone_i_rachunek_r%C3%B3%C5%BCnicowy