Oblicz dla jakiego parametru m i n liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielom Smarki: Oblicz dla jakiego parametru m i n liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x)=x³+mx²+(n+1)x+9. Jezeli liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu tzn, ze w(x) dzieli sie przez (x−3)²=x²−6x+9. Podczas dzielenia W(x) przez ten trójmian w pewnym momencie wychodzi pod kreską: (m+6)x²+(n−8)x+9. Ale skoro wielomian jest podzielny przez ten trójmian to Reszta R(x)=0. Wszystko fajnie tylko co mam zrobić z tą dziewiątka (m+6)x²+(n−8)x+9. Chyba ze źle to podzieliłem, ale sprawdzałem i nic innego mi nie wychodzi. Pomoże ktos ?

Metis: W(x)=x³+mx²+(n+1)x+9 Jeśli x=3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) to, W(x)=0 oraz W'(x)=0 ; otrzymujesz układ równań z dwiema niewiadomymi ( m oraz n)

marek: Nie trzeba pochodnych. Hornerem podziel 2 razy przez x−3. Obie reszty, które będą zawierać parametry przyrównaj do 0. Rozwiąż układ równań.

Smarki: Tak, ale przecież te dwa równania będą takie same.

Smarki: A dobra bo drugie wyrazenie to pochodna

PW: Jeszcze prościej: liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem, a więc W(x|) = (x−3)²(x−p), gdzie p oznacza następny pierwiastek. x³ + mx² + (n+1)x + 9 = (x² − 6x + 9)(x−p). Widać, że p = −1 (w wielomianie uzyskanym w wyniku mnożenia po prawej stronie wyraz wolny −9p musi być równy 9). x³ + mx² + (n+1)x + 9 = (x² − 6x + 9)(x+1) − wymnożenie i porównanie współczynników po obu stronach daje rozwiązanie.

marek: to teraz tylko włączyć stoper i sprawdzić, która metoda jest najszybsza

Jack: dla PW

Metis:

Smarki: Nauczycielka napisała: 1. Jezeli liczba 3 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu tzn ze W(x) dzieli się przez (x−3)²= x² −6x+9 2. Wykonujemy dzielenie 3. Jezeli wielomian W(x) jest podzielny przez x²−6x+9 tzn, ze Reszta R(x)=0 R(x)=0 wtedy i tylko wtedy gdy...

Smarki: Czyli wynika z tego ze mamy podzielić W(x) przez x²−6x+9 a nie robić nie wiadomo co XD

Metis: Nauczyciele zamiast "nauczać schematów" powinni uczyć, tak jak kiedyś ty to pisałeś PW, że siadłeś nad uczniami i myślałeś jak najprościej im to wytłumaczyć.

marek: Sprawdź wszystkie i stwierdź, który jest dla Ciebie najprostszy.

Jack: @Metis a tak wlasciwie dlaczego pochodna sie zeruje w miejscu zerowym funkcji? Bo kompletnie mi wylecialo z glowy jak to bylo z pochodnymi... Nie uzywalem ich praktycznie od matur ;x

marek: w tym przypadku się zeruje, bo jest to miejsce zerowe podwójne, więc wykres się odbija od osi − czyli ma tam wierzchołek − czyli styczna do wykresu w tym punkcie jest równa 0

Jack: aa no tak, chodzilo oto ze tam jest ekstremum...

Jack: dzieki

Metis: Na przykładzie: f(x)=(x−2)² − pierwiastek wielokrotny x=2 f'(x)=2(x−2) , gdzie x=2 zeruje pochodną f(x)

marek: "styczna jest równa 0" − ale zaszalałem