Trygonometria Gość1234: Oblicz cos(2α +7/4π) jeśli ctgα=2/3 i α∊(π ; 3/2π). Proszę o pomoc

math_love: Przekształcimy najpierw cos(2α+7/4π):

	π		π		π
cos(2α+7/4π)=cos(2α+(2π−		))=cos2αcos(2π−		)−sin2αsin(2π−		)=
	4		4		4

	π		π		√2		√2		√2
cos2αcos		+sin2αsin		=		cos2α+		sin2α=		(cos2α+sin2α)=
	4		4		2		2		2

√2
	((cosα)2−(sinα)2+2sinαcosα)
2

	cosα		2		2
Z tego że ctgα=2/3 mamy, że		=		, czyli cosα=		sinα
	sinα		3		3

Podstawiamy to do powyższego:

√2		4(sinα)2		2		√2
	(		−(sinα)2+2sinα		sinα)=
2		9		3		2

	4(sinα)2		9(sinα)2		12(sinα)2		√2		7(sinα)2
(		−		+		)=				(*)
	9		9		9		2		9

	2
Musimy jeszcze obliczyć ile to jest sinα, a to dostaniemy z tego, że cosα=		sinα oraz
	3

(sinα)²+(cosα)²=1

	9		3
Z tego układu równań mamy: sin2α=		. Ponieważ α∊(π,		π), to sinα<0, zatem
	13		2

	3
sinα=−
	√13

Wstawiamy to do (*) i mamy wynik

Gość1234: Wow super 👌 dziękuję bardzo! 💣💣💣

myszka: Można też tak:

	2
ctgα=		i α∊ III ćw. to cosα<0 i sinα<0
	3

	x
ctgα=		⇒ x= −2k i y= −3k to r= √4k2+9k2= √13k
	y

	y		3		x		2
zatem sinα=		= −		i cosα= −		= −
	r		√13		r		√13

	4		9
to cos2α=		i sin2α=
	13		13

	√2
cos(2α+2π−(π/4))= cos(2α−(π/4))= cos2α*cos(π/4)+sin2α*sin(π/4) =		(cos2α+sin2α)=
	2

	√2
=		(cos2α−sin2α+2sinα*cosα)=...............
	2

Mila:

	cosα		2
1) ctgα=		=		⇔
	sinα		3

	2
cosα=		*sinα
	3

	4
sin2α+		sin2α=1
	9

13
	*sin2α=1
9

	9
sin2α=
	13

	3
sinα=−
	√13

	2		3		−2
cosα=		*(−		)=
	3		√13		√13

	4
cos2α=
	13

	4		9		5
2) cos(2α)=cos2α−sin2α=		−		=−
	13		13		13

	π		π		√2
3)cos(2α+2π−		)=cos(2α−		)=		*(cos2α+sin2α)=
	4		4		2

	√2		5		−3		−2
=		*(−		+2*		*		)
	2		13		√13		√13

dokończ sam.