calka Benny: _a∫^bf(x) dg(x) − całka Stjeltjesa Dlaczego zachodzi takie coś: _a∫^bf(x) dg(x)≤sup|f(x)|− V_a^bg(x) ?

jc: Czy zamiast minusa nie powinno być iloczynu?

zombi: Oczywiście, żeby to formalnie udowodnić trzeba zaprzęgać w to sumy częściowe, dlatego napiszę skrótowo. Jasne jest, że zachodzi dla dowolnego podziału P odcinka [a,b] z wyborem punktów pośrednich ξ_i dla i=0,1,...,n f(ξ_i) ≤ sup|f(x)|_[a,b] gdzie ξ_i ity punkt pośredni (patrz definicja całki) Stąd od razu mamy ∫_a^bf(x)dg(X) ≤ sup|f(x)| * ∫_a^bdg(x). teraz definicja wahania ∫_a^bdg(x) = g(b)−g(a) = ∑_i=0ⁿ [g(ξ_i+1)−g(ξ_i)] ≤ ∑_i=0ⁿ |g(ξ_i+1)−g(ξ_i)| ! ≤ sup_P∊∏[a,b]∑_i=0ⁿ |g(ξ_i+1)−g(ξ_i)| = V_a^bg(x) Komentarz do wykrzyknika, nierówność ta oczywiście zachodzi, bo bierzemy supremum po wszystkich możliwych podziałach P odcinka [a,b] z wyborem punktów pośrednich.

zombi: Oczywiście w mojej sumie zaraz po całce ∫_a^bg(x) powinno być założenie, że ξ₀ = a i ξ_n = b. Ale to jest za mocne i można to pominąć rozważając jedynie def. wahania

Benny: Ok rozumiem, że źle przepisałem i nie powinno być tam minusa?