obliczyć calke Kamil:

	x−3
∫		dx
	x2 +2x +5

zef:

x−3
(x+1)2+4

x+1=2t d/dx 1=2dt/dx dx=2dt

	2t−4
∫
	(2t)2+4

	2t−4
∫		dt
	4t2+4

2		t−2
	∫		dt
4		t2+1

1		t−2
	∫		dt
2		t2+1

1
	arct|t|
2

1		x+1
	arct|		|
2		2

zef: koniec źle zrobiłem, zaraz poprawię.

zef:

1		t−2
	∫		dt
2		t2+1

1		t		1
	∫		dt−∫		dt
2		t2+1		t2+1

1		t		x+1
	∫		dt−arctan|		|
2		t2+1		2

1		2t		x+1
	∫		dt−arctan|		|
4		t2+1		2

1		x+1
	ln|t2+1|−arctan|		|
4		2

1		x2+2x+5		x+1
	ln|		|−arctan|		|+C
4		4		2

jc:

	x−3		1		2x+2		1
∫		dx =		∫		dx − 4 ∫		dx
	x2+2x+5		2		x2+2x+5		(x+1)2 + 4

	1		x+1
=		ln (x2+2x+5) − 2 atan
	2		2

Mariusz: zef zapomniałeś o tej dwójce która pojawiła się po zróżniczkowaniu podstawienia

Mariusz: Najpierw sprowadzamy trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej później w zależności od tego czy trójmian kwadratowy się powtarza w rozkładzie mianownika na czynniki stosujemy wzór redukcyjny albo wydzielenie części wymiernej W przypadku gdy trójmian kwadratowy się nie powtarza całkujemy do sumy logarytmu i arcusa tangensa

Mariusz: Wyprowadź sobie wzór redukcyjny na całkę

	1
∫		dx
	(1+x2)n

Sposób 1 Rozszerz ułamek o 1+x², rozbij na sumę całek, drugą całkę przez części Sposób 2 Licz od razu przez części całkując jedynkę a w funkcji podcałkowej całki która zostanie przekształć licznik Sposób 3 Zapisz jedynkę w liczniku funkcji podcałkowej tak abyś po rozbiciu na sumę całek mógł skrócić licznik z mianownikiem w jednej z nich zaś drugą liczysz przez części

zef: Faktycznie zamiast 2dt dałem dt :<

	1		1+x2		x2
∫		dx=∫		dx−∫		=
	(1+x2)n		(1+x2)n		(1+x2)n

	1
∫		dx−∫x2(1+x2)−ndx=
	(1+x2)n−1

	1
∫		dx−...
	(1+x2)n−1

∫x²(1+x²)⁻ⁿdx=|u=x² u'=2x, v'=(1+x²)ⁿ v=2xn(1+x²)ⁿ⁻¹|= 2x³n(1+x²)ⁿ⁻¹−∫2x*(1+x²)ⁿdx 2x³n(1+x²)ⁿ⁻¹−2∫x*(1+x²)ⁿdx __ ∫x*(1+x²)ⁿdx=|u=x u'=1, v'=(1+x²)ⁿ v=2xn(1+x²)ⁿ⁻¹|= 2x²n(1+x²)ⁿ⁻¹−∫(1+x²)ⁿdx __ ∫(1+x²)ⁿdx=tutaj nie wiem

	1
∫		dx−(2x3n(1+x2)n−1−2(2x2n(1+x2)n−1−∫(1+x2)ndx)−∫(1+x2)ndx)
	(1+x2)n−1

Doszedłem do czegoś takiego

Mariusz: Do tego momentu masz dobrze

	1		1		x2
∫		dx=∫		−∫		dx
	(1+x2)n		(1+x2)n−1		(1+x2)n

jednak źle dobrałeś części Pomyśl sobie , dobrze by ci się całkowało gdybyś w liczniku miał pochodną trójmianu kwadratowego z mianownika Ten wzór redukcyjny ci się przyda gdy będziesz chciał dokonać standardowego rozkładu na sumę ułamków prostych zamiast wydzielać część wymierną całki