azeta: całkę należy policzyć przez części
∫(x+2)'arctg
√x+1dx=(x+2)arctg
√x+1−∫(x+2)(arctg
√x+1)'dx
można napisać (x)', ale wybór funkcji pierwotnej zależy wyłącznie od nas − [f(x)+C]'=f'(x),
czasami chwila zastanowienia nad wyborem takowej funkcji ułatwia liczenie
azeta: (x+2) wzięło się stąd, że ułatwia obliczenia. gdyby wziąć samo x, trzeba byłoby się później
pobawić w przekształcanie, bo otrzymalibyśmy coś takiego. zresztą pokażę Ci jakby wyglądały
wszystkie obliczenia przy każdym z wyborów.
∫arctg
√x+1dx=∫(x)'arctg
√x+1dx=xarctg
√x+1−∫x*(arctg
√x+1)'dx=
| | x | | 1 | |
xarctg√x+1−∫ |
| * |
| dx |
| | 1+(√x+1)2 | | 2√x+1 | |
i zobacz w tym momencie, że wybór funkcji (x+2) zamiast x, jest o tyle wygodniejszy, że od razu
upraszcza się nam ostatnia całka, a mianowicie:
∫arctg
√x+1dx=∫(x+2)'arctg
√x+1dx=(x+2)arctg
√x+1−∫(x+2)*(arctg
√x+1)'dx=
| | x+2 | | 1 | |
(x+2)arctg√x+1−∫ |
| * |
| dx= |
| | 1+(√x+1)2 | | 2√x+1 | |
| | x+2 | | 1 | | 1 | |
(x+2)arctg√x+1−∫ |
| * |
| dx=(x+2)arctg√x+1−∫ |
| dx= |
| | x+2 | | 2√x+1 | | 2√x+1 | |
(x+2)arctg
√x+1−
√x+1+C
przy całkowaniu przez części mamy tę wygodę, że możemy wziąć dowolną funkcję pierwotną, której
pochodna występuje pod całką. możemy wziąć zarówno funkcję f(x)=x+2
200, jak i f
2(x)=x−100,
bo obydwie te funkcje mają pochodną f'(x)=1. kwestia tego, czego lepiej nam użyć.
czy studiuję matematykę? w pewnym sensie. jestem można powiedzieć, samoukiem
