Wykaż ,że Marek :

	1
Wykaż ,że jeżeli a + b + c = 1 ,to ab + ac + bc ≤
	3

Benny: a²+b²+c²≥0 (a+b+c)²−2ab−2ac−2bc≥0 1≥2(ab+ac+bc)

	1
ab+ac+bc≤
	2

ICSP: Benny zamiast nierówności a² + b² + c² ≥ 0 użyj następujacej: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac wtedy dsotaniesz teze.

Benny: Jak pokazałem, że zachodzi nierówność silniejsza to chyba też koniec zadania?

yht: albo tak: a+b+c = 1 |()² (a+b+c)² = 1² a²+b²+c² + 2ab+2ac+2bc = 1

	1		1		1		1		1		1
2(		a2−		ab+		b2) + 2(		a2−		ac+		c2) +
	4		2		4		4		2		4

	1		1		1
2(		b2−		bc+		c2) + 3(ab+ac+bc) = 1
	4		2		4

	1		1		1		1		1		1
2(		a−		b)2 + 2(		a−		c)2 + 2(		b−		c)2 + 3(ab+ac+bc) = 1
	2		2		2		2		2		2

	1		1		1		1		1		1
3(ab+ac+bc) = 1 − ( 2(		a−		b)2 + 2(		a−		c)2 + 2(		b−		c)2 )
	2		2		2		2		2		2

	1		1		1		1		1		1
Niech 2(		a−		b)2 + 2(		a−		c)2 + 2(		b−		c)2 = t oraz t≥0
	2		2		2		2		2		2

3(ab+ac+bc) = 1−t t≥0 |*(−1) −t≤0 |+1 −t+1 ≤ 1 1−t ≤ 1 3(ab+ac+bc) ≤ 1−t ⇔ 3(ab+ac+bc) ≤ 1 |:3

	1
ab+ac+bc ≤
	3

ICSP: pokazałeś nierówność słabszą.

Benny: No faktycznie, masz rację.

Rafał: Gdyby ktoś chciał to zrobić za pomocą znanych nierówności, to może postąpić tak. Z nierówności Cauchy'ego−Schwarza mamy (a²+b²+c²)(b²+c²+a²)≥(ab+bc+ca)²

	1		1
Wystarczy pokazać, że (a2+b2+c2)(b2+c2+a2)≥		, czyli a2+b2+c2≥		. Na mocy
	9		3

	a2+b2+c2		a+b+c
nierówności między średnią kwadratową i arytmetyczną mamy: √		≥		=1,
	3		3

	1
czyli a2+b2+c2≥		.
	3

Rafał: Znowu napisałem bzdury Czy mógłby ktoś usunąć mój post, by nie wprowadzał w błąd?

jc: Uporządkuję trochę rozwiązanie. 0 ≤ (a−b)² + (b−c)² + (c−a)² = 2 (a²+b²+c²) − 2(ab+bc+c) czyli ab+bc+ca ≤ a²+b²+c² Dodajmy do obu stron nierówności liczbę 2(ab+bc+ca). 3(ab+bc+ca) ≤ a²+b²+c² + 2ab +2bc + 2ca = (a+b+c)² = 1 Stąd ab+bc+ca ≤ 1/3.

jc: Rafał, podałeś ładny dowód nierówności: ab+bc+ca ≤ a²+b²+c².