Wykaż Izydor: 1. Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x⁴−x²−2x+3>0 2. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k(k+1)(k+9)(k²+1) jest podzielna przez 5. Czy da się w tym zadaniu w jakiś w miarę sensowny sposób doprowadzić do postaci przedstawiającej 5 kolejnych liczb całkowitych?

	9x4+1
3. Wykaż, że dla dowolnej liczby x∊R \ {0} zachodzi nierówność		≥6
	x2

	a		b
4. Wykaż, że jeżeli a>b≥1, to		<
	2+a3		2+b3

5. Dane jest równanie |mx|+|m|=4, w którym x jest niewiadomą. Dla jakiej wartości parametru m równanie ma rozwiązania?

	4
Tutaj spotkałem się z wyłączeniem |m| przed nawias i otrzymaniem |m|(|x|+1)=4⇒|m|=		.
	|x|+1

Nie do końca wiem jednak co robić dalej ponieważ próbując rozwiązywać to dalej i zakładając, że |x|+1≥0 niewiele mi dało. Będę wdzięczny za pomoc z którymkolwiek z zadań.

grthx: Zadanie nr 3 PO pomozeniu obu strn przez x² 9x⁴+1≥6x² 9x⁴−6x²+1≥0 (3x²−1)²≥0 napisz komentarz

Benny: zad 4

	x
Pokaż, że funkcja f(x)=		jest malejąca dla x≥1
	2+x3

Omikron: 1. Niech f(x)=x⁴−x²−2x+3 f'(x)=4x³−2x−2 Miejscem zerowym jest 1. Dalej Horner. f'(x)=(x−1)(4x²+4x+2) Delta drugiego nawiasu jest ujemna, więc jedynym miejscem zerowym jest 1. Z wykresu pochodnej wynika, że jest to minimum, a z monotoniczności, że dla x=1 funkcja przyjmuje najmniejszą wartość. f(1)=1−1−2+3=1 W takim razie dla każdego x∊R f(x)>0

grthx: Zadanienr 5

4
	narysuj wykres tej funkcji i tnij prosta y=|m| i pamietaj ze |m|=m dla m≥0 i
|x|+1

|m|=−m dla m<0

Izydor: Dziękuje wszystkim. Postaram się popracować nad tym 4'tym tak jak radziłeś (Benny) jeśli na nic nie wpadnę odezwę się znowu − tym razem bardziej precyzyjnie.

Omikron: 2. Rozważamy 5 przypadków. 1) k jest podzielne przez 5, w takim razie iloczyn też jest podzielny przez 5 2) k daje resztę 4, czyli k=5n+4 Wtedy k+1=5n+5=5(n+1), czyli całość podzielna przez 5 3) k daje resztę 1, czyli k=5n+1 Wtedy k+9=5n+10=5(n+2), czyli całość podzielna przez 5 4) k daje resztę 2, czyli k=5n+2 Wtedy k²+1=25n²+20n+4+1=25n²+20n+5=5(5n²+4n+1), czyli całość podzielna przez 5. 5) k daje resztę 3, czyli k=5n+3 Wtedy k²+1=25n²+30n+9+1=25n²+30n+10=5(5n²+6n+3), czyli całość podzielna przez 5. Skoro w każdym możliwym przypadku liczba jest podzielna przez 5, to jest zawsze podzielna przez 5 (dla całkowitego k).

Izydor: Dziękuję.

PW: Zadanie 2. Jeżeli liczba k jest podzielna przez 5, to nie ma czego dowodzić − pierwszy czynnik jest podzielny przez 5, a więc iloczyn też. Pozostaje zbadać pozostałe możliwości: k =5n+1 k=5n+2 k=5n+3 k=5n+4 dla pewnej n∊N. Być może w każdym z wypadków pokażemy, że jeden z czynników jest podzielny przez 5.

PW: Omikron, za długo myślałem bez odświeżania

grthx: Witaj PW

myszka: 1/ x⁴−x²−2x+3 = (x−1)²(x²+2x+2) +1 >0 dla x∊R

Benny: Cześć PW, gdzie się podziewałeś?

PW: Cześć, rozmyślałem nad sensem i walczyłem o życie.

grthx: Czyli to jednak wtedy byles Ty Dobrze ze wrociles

myszka: Inny sposób 2/ Można zapisać tę liczbę tak: k(k+1)[(k−2)(k+2)+5]*[(k−1)+10] = (k−2)(k−1)k(k+1)(k+2) +10*k(k+1)(k−2)(k+2) +5*k(k+1)(k−1)+15k(k+1) = 5*t , t∊C bo liczba (k−2)(k−1)k(k+1)(k+2) −−−− jest iloczynem kolejnych liczb całkowitych zatem jest podzielna przez 5 suma liczb podzielnych przez 5 jest liczbą podzielną przez 5 co kończy dowód

Izydor: Pewnie będzie to idiotyczne, ale czy w 2 udowodnieniem nie może być po prostu x⁴−x²−2x+3>0⇒x⁴−x²+3>2x? I tak będę korzystać z zapisu takiego jaki zaproponowała myszka ale warto zawsze wiedzieć więcej niż mniej.

grthx: