Banach Benny: Gdzie znajdę dowód twierdzenia Banacha o kontrakcji (odwzorowaniu zwężającym)?

Janek191: Jest w wikipedii szkic dowodu.

Benny: Coś tam widziałem, a nie wiesz może, gdzie znajdę pełny dowód?

Benny: Ok znalazłem coś na ważniaku.

jc: Szereg geometryczny + zupełność! Sprawdzasz warunek Cauchyego. Za dużo znaczków ... Zobacz np. do książki Okruchy matematyki lub do książki Droga do matematyki współczesnej. Dwie niezwykłe książki dla każdego.

Saizou : Ja ma dowód tego twierdzenia w pdfie, wiec mógłbym ci jutro podesłać

Benny: Jasne

Saizou : to podaj e−mail albo coś xd

Benny: Może być gg?

Saizou : może

Benny: 12460944

Saizou : Napisałem

jc: Benny, spróbuj sam. |fⁿ(y) − fⁿ(x)| ≤ dⁿ |y − x| A co będzie, jak za y podstawisz f(x)? f⁹(x) − f⁵(x) =[ f⁹(x) − f⁸(x) ] + [ f⁸(x) − f⁷(x) ]+ [ f⁷(x) − f⁶(x) ] + [ f⁶(x) − f⁵(x) ] |f⁹(x) − f⁵(x)| ≤ d⁵ (1 + d + d² + d⁴ ) |f(x) − x| ≤ d⁵ (1−d)⁻¹ |f(x) − x| |f^n+m(x) − fⁿ(x)| ≤ dⁿ (1−d)⁻¹ |f(x) − x| , a więc mamy ciąg Cauchyego (w przestrzeni zupełnej z definicji zbieżny).

jc: Oczywiście 0 ≤ d < 1

jc: No i miało być d³ zamiast d⁴. Wracam do pracy ...

zombi: To jest super dowodzik, samemu się fajnie tego dowodzi Tutaj masz jeszcze rozpisane http://prac.im.pwr.wroc.pl/~frej/wyklad_6_MAP1212.pdf

Benny: Jasne, tylko jeszcze dokładnie nie wiem czym jest przestrzeń zupełna

jc: Pewien przykład. Pomyśl, że coraz lepiej przybliżasz ułamkami √2, ale nic nie wiesz o liczbach rzeczywistych. Masz ciąg, który wydaje się zbieżny, ale granicy nie ma (przypomnę, znamy tylko ułamki). Jak ująć ten fakt? Po prostu dla dużych n,k, odległości pomiędzy n−tym a k−tym elementem ciągu powinna być mniejsza o wcześnie pomyślanego ε > 0. Ciągi o takiej własności nazywa się ciągami Cauchyego. Jeśli każdy taki ciąg jest zbieżny, to powiemy, że przestrzeń jest zupełna. R jest zupełna, Q nie jest.

Benny: Ok jakiś pogląd mi to dało