poproszę o wytłumaczenie Ala: Niezależne zmienne losowe X1,X2,...,X500 mają jednakowe rozkłady Poissona z parametrem λ=1,2 oblicz prawdopodobieństwo P ( 1,14<X ̅ <1,32 ).

Saris: Znasz centralne twierdzenie graniczne?

Ala: trochę nie kumam o co chodzi w definicji , za dużo matematycznych symboli

Saris: Centralne twierdzenie graniczne to twierdzenie matematyczne mówiące, że jeśli {\displaystyle X_i} X_i są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, takiej samej wartości oczekiwanej {\displaystyle \mu } \mu i skończonej wariancji {\displaystyle \sigma ²} \sigma ², to zmienna losowa o postaci

Saris: aaa missclick. Chodzi o to, że jeśli masz jakieś zmienne losowe o tym samym rozkładzie, które są niezależne to możesz sobie stosując CTG przybliżyć ten rozkład do rozkładu normalnego standaryzowanego [N(0,1)]. Robisz to po to, żeby łatwo obliczyć wartości dystrybuanty, w celu policzenia szukanego prawdopodobieństwa. Wiesz co to jest wartość przeciętna i wariancja?

Saris: Znaczy zmienną losową o postaci danej w tym twierdzeniu przybliżasz

Saris: Generalnie zadanie polega na tym aby wykorzystać właściwości rozkładu Poissona w celu skorzystania z CTG. Rozkład Poissona, to taki rozkład gdzie i wartość oczekiwana (m) i wariancja (σ²) są równe współczynnikowi λ, który masz dany w treści.

	1
Teraz chcesz policzyć P(1,14 <		∑ni=1Xi < 1,32).
	n

Ta wartość w środku to inaczej zapisane X z pionową kreską u góry (czyli średnia z sumy kolejnych zmiennych losowych) Teraz musisz doprowadzić sobie to prawdopodobieństwo do stanu, w którym będziesz mogła skorzystać z CTG:

	1,14−m		1   ∑ni=1Xi − m n		1,32−m
P(		<		<		)
	σ   √n		σ   √n		σ   √n

Teraz zastąpmy sobie tą zmienną losową przez Y_n i skorzystajmy z przybliżenia do r.normalnego:

	1,14−m		1,32−m
P( ... < YN < ...) ≈ φ(		) − φ(		) = ...
	σ   √n		σ   √n

Wystarczy podstawić λ=m=σ²=1,2 i obliczyć argument dla funkcji fi (tj. dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1)) i wartości dla obliczonych argumentów wziąć z tablic. n=500 oczywiście. W wypadku gdy argument wyjdzie ujemny, skorzystaj z własności φ(−x)=1−φ(x)

Ala: Dziękuję!