Wykresy i funkcje okresowe grthx: Zadanie; a) f(x)=sin2x g(x)= sin3x Podaj okresy finkcji f(x) i g(x) . Sporzadz wykresy tych funkcji . Narysuj wykres funkcji φ(x)=f(x)+g(x)= sin3x+sin3x . Jaki jest okres funkcji φ(x)? b) f(x)= sin(x) g(x)= mantysa (x) Podaj okresy obu funkcji . Sporzadz wykresy (to potrafie zrobic Okreslamy k(x)= sin(x₊mantysa x . Czy funkcja k jest okresowa ? c) f i g sa funkcjami okresowymi . Zbadaj czy suma funkcji f i g jest okresowa Wskazowka : Rozpatrz osobno przypadek gdy stosunek okresow funkcji f i g jest liczba wymierna ososbno zas przypadek gdy stosunek ten jest liczba niewymierna do a) Wykresy tych funkcji potrafie narysowac

	2
Okres funkcji f(x) to π natomiast g(x) to		π
	3

Natomiast gorzej juz z funkcja φ(x) Wykres oczywiscie moge sobie narysowac w programie ale chce ten okres tej funkcji policzyc . MOzna jakos . Czy nalezy tutaj skozystac z ewzoru sinα+sinβ?

grthx: Najpierw podpunkt a) chce skonczyc tip top

Adamm: pomyśl, kiedy oba okresy się pokrywają dla f masz π, 2π, 3π, ...

	2		4
dla g masz		π,		π, 2π, ...
	3		3

więc okres podstawowy φ(x) to 2π

Adamm: oczywiście możesz skorzystać ze wzoru

grthx: Acha czyli nie ma potrzeby skorzystania z tego wzoru ? Bo to by wyszedl troche kosmos . Co do b) okres sinx to 2π a okres mantysa (x) to 1 wiem jak zrobic wykresy Nie wiem jak wykazac czy suma tych funkcji jest funkcja okresowa

Adamm: czy istnieje wielokrotność 1 tak że k₁*1=k₂*2π , k₁,k₂∊ℤ pomyśl

grthx: DobrzeAdamm to ja zaraz sprobuje z tego wzoru jesli sobie zapisze tak

	3x+2x		3x−2x		1
sin3x+sin2x= 2*sin		*cos		= sin5x*cos		x tylko jak z tego obliczyc
	2		2		2

okres ?

Adamm: oczywiście zapomniałem wspomnieć k₁≠0,k₂≠0

grthx: Post 20:46 nie istnieje wobec tego suna tych funkcji nie jest funkcja okresowa .

Adamm:

	5		1
masz 2sin		xcos		x ale z tego wychodzi okres 4π, przekształcanie w taki sposób
	2		2

raczej nie jest optymalne

grthx: Ale juz za c) nie wiem jak sie zabrac

Adamm: funkcja f+g jest okresowa dla okresów wymiernych f+g nie jest okresowa dla okresu wymiernego i niewymiernego (patrz b)) f+g może być lub nie okresowa dla okresów niewymiernych (np. dla √2 i π funkcja nie jest okresowa ale dla 2π i π już jest

grthx: No bo tak jesli f(x) jest okresowe to f(x)= f(x+T) to samo g(x)= g(x+T) dalej juz nie mam pomyslu .

Adamm: suma funkcji okresowych ma okres jeśli ich okresy są w zależności k₁*T₁=k₂*T₂

k1		T2
	=
k2		T1

	T2
czyli kiedy		jest liczbą wymierną
	T1

grthx: Dobrze . dziekuje CI za pomoc

Adamm: Dziękuje że mogłem pomóc

grthx: Duzo pomogles

Mila: h(x)=sin3x+sin2x z definicji (to trochę dłuższy sposób) h(x)=h(x+T), T − stała niezależna od x sin[3*(x+T)]+sin [2(x+T)]=sin(3x)+sin(2x) sin(3x+3T)+sin(2x+2T)=sin(3x)+sin(2x) sin(3x+3T)−sin3x+sin(2x+2T)−sin2x=0

	3x+3T+3x		3x+3T−3x		2x+2T+2x		2x+2T−2x
2*cos		*sin		+2*cos		*sin		=0
	2		2		2		2

	3T		3T
cos(3x+		)*sin		+cos(2x+T)*sinT=0
	2		2

Korzystam z wzoru: sin(3x)=sin(x)*[3−4sin²(x)]

	3T		T		T
sin		=sin		*[3−4sin2		]
	2		2		2

	3T		T		T		T		T
cos(3x+		)*sin		*[3−4sin2		] +cos(2x+T)*2*sin		*cos		=0
	2		2		2		2		2

	T		3T		T		T
sin		*[cos(3x+		)*(3−4sin2		) +cos(2x+T)*2cos		]=0
	2		2		2		2

	T		3T		T		T
sin		=0 lub [cos(3x+		)*(3−4sin2		) +cos(2x+T)*2cos		]=0
	2		2		2		2

	T
sin		=0⇔
	2

T
	=kπ
2

T=2π − okres zasadniczy h(x) ===================

grthx: Dobry wieczor Milu dziekuje CI bardzo . Jutro sobie siade jeszcze nad tym dokladnie . Dzisiaj juz trzeba odpoczac Mam jeszcze pare zadan z tych okresow ale juz jutro.

Mila: Dobry wieczór