indukcja matematyczna ola : Udowodnij przy użyciu indukcji matematycznej że (1+x)ⁿ ≥ 1+nx dla x≥−1 i wszystkich liczb całkowitych n≥0 Nigdy nie robiłam takiego zadania więc proszę o dokładnie wytłumaczenie. Dziękuję.

Saizou : wygoogluj sobie dowód nierównoście Bernouliego

Adamm: dla zera mamy 1≥1, zachodzi zakładamy że dla n−tego zachodzi (1+x)ⁿ≥1+nx (1+x)ⁿ⁺¹≥(1+nx)(1+x) (1+x)ⁿ⁺¹≥1+(n+1)x+nx²≥1+(n+1)x

Adamm: (1+x)ⁿ≥1+nx ⇒ (1+x)ⁿ⁺¹≥(1+nx)(1+x) ponieważ x≥−1

zombi: 1 krok. Dla n=0, oczywiste (1+x)⁰ = 1 ≥ 1 = 1 + 0*x 2 krok. Zakładamy, że zachodzi dla pewnego n≥0. 3 krok indukcyjny. Chcemy pokazać, że zachodzi dla n+1, wykorzystując założenie poczynione krok wcześniej. L = (1+x)ⁿ⁺¹ = (1+x)*(1+x)ⁿ ≥ (1+x)*(1+nx) tu wykorzystujemy założenie = = 1+nx + x + nx² = [1+(n+1)x] + nx², ale to oczywiście jest większe niż [1+(n+1)x], bo mamy dodatkowo ekstra czynnik nx²≥0. Tak więc pokazaliśmy, że (1+x)ⁿ⁺¹ ≥ 1+(n+1)x.