Rozwiązać równanie w dziedzinie zespolonej studi1: a) z⁶ + 10z³ +16 = 0 b) z⁸ + 10z⁴ +9 = 0

Adamm: a) z⁶+10z³+16=0 (z+2)(z+³√2)(z²−³√2z+³√4)(z²−2z+4)=0 z=−2 lub z=−³√2 lub (z²−³√2z+³√4)(z²−2z+4)=0 z²−³√2z+³√4=0 (z−³√2/2)²−³√4/4+³√4=0

	−33√4
(z−3√2/2)2=
	4

	√33√2
z−3√2/2=±		i
	2

	√33√2
z=3√2/2±		i
	2

z²−2z+4=0 (z−1)²+3=0 z−1=±√3i z=1±√3i

	√33√2		√33√2
z∊{−2;−3√2;1+√3i;1−√3i;3√2/2−		i;3√2/2+		i}
	2		2

Eta: a) z⁶+10z³+16=0 (z³+8)(z³+2)=0 i dalej już prosto........... b) z⁸+10z⁴+9=0 (z⁴+1)(z⁴+9)=0 ...................

studi1: Mozna prosic innym sposobem?

grthx: A zrobiles tym ? Inny sposob to zrob podstawienie x=z³ w 1 rownaniu a w drugim x=z⁴ i dostaniesz w obu przypadkach rownanie kwdratowe do rozwiazania i wracasz do podstawienia .

studi1: ile roziwzan bedzie w przykladzie "a" oraz "b"?

Adamm: wielomian stopnia n ma n rozwiązań zespolonych

studi1: rozumiem, w przykladzie a obliczylem z delty 2 rozwiazania i teraz mam: z³ = −8 czyli z= ³√−8 oraz z³=−2 czyli z= ³√−2 i co dalej?

Adamm: masz (z³+8)(z³+2)=0 wiesz o 2 rozwiązaniach wielomian z³+8 podziel przez −2, a wielomian z³+2 podziel przez −³√2 dostaniesz dokładnie to co napisałem w poście 00:00

studi1: ok, tylko jak dzielic wielomian z³ + 2 przez − ³√2?

grthx: z³+8=0 (z+2)(z²−2z+4)=0 ⇒z₁=−2 lub z²−2z+4=0 z²−2z+4=0 Δ= 4−16=−12 √−12=±i2√3

	2+i2√3		2(1+i√3
z2=		=		= 1+i√3
	2		2

	2−i2√3
z3=		= 1−i√3
	2

Rozwiazuj tak samo z³+2=0 wzor skoroconego monozenia .

grthx: Natomiast w przykladzie b) masz (z⁴+1)(z⁴+9) =0 ⇒z⁴+1=0 lub z⁴+9=0 czyli z⁴=−1 lub z⁴=−9 Wiesz przeciez ze skoro pierwaistki z⁴=1 to z₁=1 z−2=−1 z₃=i i z₄=−i to pierwiastki z(−1) to beda z₁=−1 z₂=1 z₃=−i i z₄=i i jedno rownanko zalatwione mamy bez liczenia Drugie z⁴+9=0 mozesz zapisac tak z⁴−i²9=0 ⇒(z²+i3)(z²−i3)=0 i sie teraz pobaw .

grthx: Dobrze tez jest znac na pamiec pierwiastki stopnia trzeciego z jednosci ω₀=1

	−1+i√3
ω1=
	2

	−1−i√3
ω2=		przydaje sie przy roznych rownaniach
	2