pochodna Benny: Posiada ktoś ładny dowód tego, że jeśli pochodne cząstkowe są ciągłe to funkcja jest różniczkowalna? Znalazłem pewien w Fichtenholzie, ale nie przemawia do mnie.

jc: Mamy pokazać, że poniższe wyrażenie podzielone przez √h²+k² dąży do 0 przy √h²+k² dążącym do zera. f(x+h,y+k) − f(x,h) − h f(x,y)_x − k f(x,y)_y =[ f(x+h,y+k) − f(x,y+k) − h f(x,y)_x ] + [f(x,y+k)−f(x,y) − k f(x,y)_y] f(x+h,y+k) − f(x,y+k) = h f(x+t, y+k)_x (tw. o wartosci średniej) f(x+h,y+k) − f(x,y+k) − h f(x,y)_x = h [ f(x+t, y+k)_x − f(x,y)_x ] |h| ≤ √h² + k², a wyrażenie w nawiasie →0 (ciągłość pochodnych cząstkowych) Uzupełnij i złóż z tego dowód

Benny: Dlaczego tutaj możemy skorzystać z tw. o wartości średniej?

jc: A dlaczego nie? g(x+h) − g(x) = h g'(x+t), dla pewnego t, |t| < |h|.

Benny: Mówimy o tw. Lagrange'a oczywiście? Chodzi mi założenia dotyczące tego twierdzenia tj. ciągłość i różniczkowalność.

jc: W twierdzeniu o wartości średniej zakłada się tylko różniczkowalność. Ciągłość pochodnych jest potrzebna potem, kiedy k →0, h→0, a więc i t →0. Wtedy f(x+t, y+k)_x →f(x,y).

jc: Benny, spróbuj gdzieś znaleźć Analizę na rozmaitościach Spivaka. Format zeszytu, 150 stron. Funkcje wielu zmiennych, pochodne, całki, formy różniczkowe, twierdzenie Stokesa. Nieduża książeczka, wszystkie twierdzenia z dowodami.

Benny: http://allegro.pl/analiza-na-rozmaitosciach-michael-spivak-i6481991188.html takie coś?