Algebra nierozumiemalgebry: POTRZEBNA POMOC Z ALGEBRY Podaj treść twierdzenia Cayleta−Hamiltona dla dowolnej macierzy A∊M_n(k), oraz wniosku dotyczącego obliczania wartości macierzy F(A), gdzie F=a₀+a₁t+...+a_mt^m ∊ k[t] jest wielomianem od zmiennej t o współczynnikach w ciele k. Stosując je Oblicz wartość wyrażenia A³−A+3I₂ dla macierzy A:= |1 −1| |2 −1|

dowbor: Do roboty byś się wziął.

Benny: Twierdzenie Cayleya − Hamiltona mówi, że wielomian charakterystyczny jest swoim wielomianem anulującym. det(A−λI)=−(λ−1)(λ+1)+2=−λ²+2λ+3 2λ+3=λ², podstawiając A 2A+3I=A² Baw się dalej

nierozumiemalgebry: Nie rozumiem, mógłby ktoś pomóc co dalej mam zrobić? Układ równań z tego czy jak?

Benny: Jaki układ równań? Masz znaleźć tym sposobem A³.

nierozumiemalgebry: Nie rozumiem jak mam to zrobić

jc: Benny, różnica kwadratów! A² = − I. Ja się jednak częściej mylę

Benny: Nie wiem jak mi to wyszło

nierozumiemalgebry: Umie ktoś rozwiązać?

jc: Skoro A² = − I, to A³ − A + 3 = −2 A + 3. Co chcesz więcej?

nierozumiemalgebry: A skąd to A²=−I ? A³−A+3=A²A−A+3=−AI−A+3=−A(I+1)+3, więc nie wiem skąd to −2A+3

jc: Takie masz A. Jak byś miał inne, może dostałbyś coś innego, a tak masz A² = −I. Policz.

Benny: Nie ma czegoś takiego jak I+1 jak byś to zdefiniował? Jak chcesz dodać macierz do liczby?

jc: Benny, utożsamiam liczbę z liczbą pomnożoną przez macierz jednostkową. Względy estetyczne. I jest przekształceniem takim, że Iv=v, 1 jest liczbą taką, że 1v=v.

nierozumiemalgebry: W takim razie nie rozumiem skąd mamy to −2A+3

jc: Podniosłeś A do kwadratu?

Benny: @jc nie chodziło mi o Twój wpis. Poprawnie jednak zapisuje się I, a nie 1.

jc: Benny, masz rację, ale liczba bez I ładniej wygląda, a brak I raczej nie prowadzi do nieporozumień.