Szereg Maclaurina Mar: Rozwiń w szereg Maclaurina x²arctg2x i podaj zbór, gdzie obowiązuje rozwinięcie

Mar: mogłabym prosić o pomoc?

jc: atan x = x − x³ /3 + x⁵ /5 − x⁷ /7 + ... x² atan 2x = x² atan 2x = 2x³ − 2³ x⁵ /3 + 2⁵ x⁷ /5 − 2⁷ x⁹ /7 + ... szereg jest zbieżny dla x ∊ [−1/2, 1/2]

Mar: ale co się skąd wzięło?

jc: Zróżniczkuj obie strony pierwszego równania Drugie równanie wynika z pierwszego.

Mar: ale bez używania całek?

jc: Zróżniczkowałeś? Pochodna lewej strony = pochodna prawej strony. Funkcje po obu stronach różnią się stałą, która określasz podstawiając x = 0.

Mar: a można tak: f(x)=arctgx

	1		1
f'(x)=		=
	1+x2		1−(−x2)

f'(x)=∑(n=0)(−x²)ⁿ całkujemy

	−x2n+1		−1n
f(x)=∑(n=0)∫−x2ndx=∑(n=0)		=∑(n=0)		x2n+1
	2n+1		2n+1

x=0 arctg0+c=0 ⇒c=0

	−1n
∑(n=0)		x2n+1
	2n+1

Ale szereg jest trochę inny. Więc

	−1n
x2arctg2x=x2*∑(n=0)		(2x)2n+1.
	2n+1

I teraz trzeba wciągnąć ten x² do sumy? Czy nie? I jak policzyć zbiór, gdzie obowiązuje rozwinięcie?