Algebra ilovecalka: Ciężko będzie to rozwiązać 4. (a) Wykorzystując własności „standardowego” iloczynu skalarnego na R−przestrzeni liniowej V = R3, oblicz odległość punktu A = (3, 4, 2) od prostej wyznaczonej przez punkty B = (−2, 1, 3) i C = (−1, 2, 0) w przestrzeni E3. (b) Na przestrzeni V = R2 definiujemy dwuliniowy funkcjonał ⟨·, ·⟩ : V2 −> R przyjmując ⟨x, y⟩ = 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2, dla x = [x1x2], y = [y1y2] ∊ V (one są pod sobą, ale tutaj nie ma jak tego zapisać) Znajdź jego macierz w bazie „standardowej” i sprawdź (używając m.in. kryterium Sylvestera), że jest on iloczynem skalarnym (nie sprawdzać dwuliniowości!). Następnie stosując ortogonalizację Gramma−Schmidta dla bazy „standardowej”(!) jako bazy wyjściowej znajdź bazę ortogonalną przestrzeni V względem ⟨·, ·⟩, a na koniec bazę ortonormalną V względem ⟨·, ·⟩.

ilovecalka: Chyba nikt nie umie

Jack: :(

jc: Użyję innych oznaczeń, aby nie pisać indeksów. (a,b)(x,y) = 2ax + ay + bx + by, widać symetrię i 2−liniowość (a,b)(a,b) = 2a² + 2ab + b² = a² + (a+b)² przyjmuje wartości nieujemne, a zero tylko dla wektora zerowego (czyli jest to jakiś iloczyn skalarny).