Parametry Stooley: 5.194. Dla jakich wartości parametru p równanie (x+1)[x²+(p+2)x+(p−1)²]=0 ma tylko jedno rozwiązanie? 5.196. Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie (x²−x−2)[x²+(m+1)x+4}=0 ma cztery różne rozwiązania.

Jack: 5.194. masz juz rozwiazanie x + 1 = 0 −>>> x = − 1 zatem rownanie kwadratowe albo nie moze miec rozwiazan, albo musi wynosic x= − 1

Jack: zacznijmy od tego, gdy rozwiazaniem jest x = − 1 najpierw Δ=0 (bo wtedy jest jedno rozwiazanie. (p+2)² − 4*(p−1)² = 0 p² + 4p + 4 − 4(p²−2p+1)=0 −3p² + 12p = 0 3p(−p+4) = 0 p = 0 lub p = 4 jednakze tym rozwiazaniem musi byc dokladnie x = − 1 zatem skoro jest to rownanie kwadratowe, to zeby jedynym rozwiazaniem bylo x−1 to musimy to rownanie zapisac jako (x+1)² a to sie rowna x² + 2x + 1 zatem porownujemy. x² + (p+2)x + (p−1)² = x² + 2x + 1 co nam daje {p+2 = 2 −>> p = 0 {(p−1)² = 1 −>> p = 2 lub p = 0 zatem dla p = 0 jest spelnione (bo warunek z delty jest spelniony) teraz gdy Δ <0 (p+2)² − 4(p−1)² < 0 −3p² + 12p < 0 3p(−p + 4) < 0 p ∊ (−∞;0) U (4;∞) dodajac fakt ze p moze wynosic 0 otrzymuje ostateczny przedzial p∊(−∞;0> U (4;∞) i to tyle... proste chyba ?

Jack: 5.196. Wyznacz te wartości parametru m, dla których równanie (x²−x−2)[x²+(m+1)x+4]=0 ma cztery różne rozwiązania. ============================================================================ ============================================================================ Najpierw sprawdzmy czy x²−x−2 ma jakies rozwiazania. Δ = 1 + 8

	1−3
x1 =		= − 1
	2

	1+3
x2 =		= 2
	2

zatem mamy 2 rozwiazania. Zatem z tego rownania [x²+(m+1)x+4] musimy otrzymac kolejne 2 rozwiazania, (bo 2 juz mamy). Rownanie x²+(m+1)x+4 ma 2 rozwiazania gdy Δ >0 zatem Δ = (m+1)² − 4*4 = m² + 2m + 1 − 16 = m² + 2m − 15 m² + 2m − 15 > 0 (m−3)(m+5) > 0 rysujemy parabole i odczytujemy, ze m ∊ (−∞;−5) U (3;∞)

gal4: wyznacz wartości parametru t< dla których równanie x2+tx−2tx−2t+5=0 ma dokładnie jedno rozwiązanie. wyznacz wartości parometru m dla których równanie x2−2(m−2)x−4m=0 ma dwa pierwiastki o różnych znakach

gal4: wyznacz wartości parametru t< dla których równanie x2+tx−2tx−2t+5=0 ma dokładnie jedno rozwiązanie. wyznacz wartości parometru m dla których równanie x2−2(m−2)x−4m=0 ma dwa pierwiastki o różnych znakach

gal4: t< x2+tx−2tx−2t+5=0 x2−2(m−2)x−4m=0

getin: x²+(t−2t)x−2t+5=0 x²−tx+5−2t=0 a=1, b=−t, c=5−2t Δ = (−t)²−4*1*(5−2t) = t²−20+8t Δ = 0 t²+8t−20 = 0 Δ_t = 8²−4*1*(−20) = 64+80 = 144 √Δ_t = 12

	−8−12
t1 =		= −10
	2

	−8+12
t2 =		= 2
	2

Odp. t=−10, t=2 x²−2(m−2)x−4m=0 x²+(4−2m)x−4m=0 a=1, b=4−2m, c=−4m { Δ > 0 { x₁*x₂ < 0 {Δ > 0

	c
{		< 0
	a

Δ > 0 (4−2m)²−4*1*(−4m) > 0 16−16m+4m²+16m > 0 4m²+16>0 m∊R

c
	< 0
a

−4m
	< 0
1

m > 0 Odp. m > 0

nick: Dla jakich wartości parametru k funkcja kwadratowa y=x²−2x+k ma dwa miejsca zerowe spełniające warunek 7x2−4x1=47

chichi: f(x) = x² − 2x + k 1. Δ > 0 ⇔ 4 − 4k > 0 ⇔ k < 1 ⇔ k ∊ (−∞,1)

	⎧	x1 + x2 = 2
2.	⎨
	⎩	7x2 − 4x1 = 47

	⎧	x1 = −3
	⎨		, zatem:
	⎩	x2 = 5

f(x) = (x + 3)(x − 5) = x² − 2x − 15 ⇒ k = −15 ∊ (−∞,1)

Aruseq: Zawsze działającym sposobem przy takich zadaniach jest dopisanie dwóch równań wynikających właśnie ze wzorów Viete’a. W tym przypadku wystarczył jeden, ale dopisanie drugiego nie wpłynęłoby na rozwiązanie