pierwsze Benny: Czy wielomiany są względnie pierwsze, jeśli nie maja wspólnych dzielników?

Eta: A jak myślisz ?

Benny: No myślę, że tak, ale coś dowód mi nie działa, który czytam. m(λ)=(λ−λ₁)^m₁*...*(λ−λ_p)^m_p − wielomian minimalny macierzy A. Dla każdego indeksu i∊{1,...,p} w_i=U{m(λ)}{(λ−λ_i)^m_i. Dalej mam napisane, że w₁(λ),...,w_p(λ) są względnie pierwsze i tutaj jest problem, bo jak dobrze czytam to np. w₁=(λ−λ₂)^m₂*...*(λ−λ_p)^m_p w₂=(λ−λ₁)^m₁*(λ−λ₃)^m₃*...*(λ−λ_p)^m_p No i przykładowo ostatni czynnik jest wspólnym dzielnikiem. Co w moim rozumowaniu jest nie tak?

Saizou : a co dowodzisz ?

Benny: λ₁, .., λ_p − wszystkie, różne między sobą wartości własne endomorfizmu f. Wtedy V jest suma prostą podprzestrzeni własnych.

Saizou : Algebra to zło jak w dym dowodzie definiują w_p wielomian? n Bo może chodzi im o to, że NWD(w₁,...,w_p)=1

Benny: Napisałem wyżej i w sumie masz racje, bo poniżej była pewna suma, więc chodziło o to co napisałeś teraz tj. NWD(w₁,...,w_p)=1 Dzięki

Saizou : Sam siebie zaskakuje

Benny:

jc: wektory własne należące do różnych wartości własnych są liniowo niezależne. Zał. że są liniowo zależne. Niech k₁ v₁ + k₂ v₂ + ... + k_n v_n = 0 będzie najkrótszą relacją mówiącą, że mamy wektory liniowo zależne. M v_i = λ_i v_i Mnożymy kombinację liniową przez M. λ₁ k₁ v₁ + λ₂ k₂ v₂ + ... + λ_n k_n v_n = 0 Odejmując λ_n (k₁ v₁ + k₂ v₂ + ... + k_n v_n) = 0 otrzymujemy o jeden krótszą relację (napisz i zobaczysz, współczynniki ≠0), co daje sprzeczność z założeniem. Zatem nasze wektory są liniowo niezależne.

Benny: Skąd Ci się bierze ta ostatnia równość? Co odejmując?

jc: Po prostu mnożę założoną relację przez lambda_n. λ1 k1 v1 + λ2 k2 v2 + ... + λn kn vn = 0 λn (k1 v1 + k2 v2 + ... + kn vn) = 0 Jak odejmiesz, to uzyskasz (λ₁ − λ_n) k₁ v₁ + (λ₂ − λ_n) k₂ v₂ + ... + (λ_n−1 − λ_n) k_n−1 v_n−1 = 0 Ponieważ lambdy są różne, więc kombinacja ma niezerowe współczynniki, a jest krótsza od najkrótszej, więc mamy sprzeczność.

Benny: Ok, o to Ci chodziło, czytając wcześniejszy post nie zrozumiałem. Fajne, dzięki

Benny: Tak sobie pomyślałem. Co jeśli λ_n jest zerem?

Benny:

jc: Nic złego się nie dzieje. Od razu masz krótszą relację (ostatni składnik = 0). Ale oczywiście jak odejmiesz zero, to nic nie zepsujesz (dlatego nie trzeba rozpatrywać osobnego przypadku).