Dla jakich wartości parametrów a i b płaszczyzny... rafcio: Jak rozwiązać POMOCY ! 1.Dla jakich wartości parametrów a i b płaszczyzny : 2x−y+3z−1=0;x+2y−z+b=0;x+ay−6z+10=0 a) nie mają punktu wspólnego; b) mają dokładnie jeden punkt wspólny; c) mają nieskończenie wiele punktów wspólnych zależnych od jednego parametru; d) pokrywają się? 2.Dana jest prosta : ( 2x+3y−z−1=0 x − y+z−2=0 ) b) Proszę wyznaczyć punkty przebicia prostą l płaszczyzn układu współrzędnych; c) Proszę wyznaczyć parametryczne równanie prostej l; d) Proszę wyznaczyć równanie prostej l w postaci kanonicznej.

Jerzy: 1a Wrktory normalne są kolinearne i odległość płaszczyzn różna od 0

rafcio: Nie rozumiem, mógłbyś wyjaśnić ?

Jerzy: Płaszczyzny równoległe mają równoległe wektory normalne i ich odległość jest różns od zera.

rafcio: No tak to wiem ale jak to wykorzystać w zadaniu ? nie mam pomysłu :0

Jerzy: Wypisz wektory normalne

rafcio: N1=(2;−1;3) N2=(1;2;−1) N3=(1;a;−6) Wiem że jeśli wyznacznik = 0 to wektory leżą na jednej płaszczyźnie, tylko że jeśli jest różny od 0 to mogą się przecinać ?

Jerzy: Chyba źle przepisane,pierwsze dwie nie są równoległe.

rafcio: Sprawdziłem dobrze przepisane, faktycznie pierwsze dwie nie są równoległe co to oznacza dla mnie ?

Mila: L: 2x+3y−z−1=0 x − y+z−2=0 2) b) XOY: z=0 2x+3y=1 x−y=2

	7		3
x=		, y=−
	5		5

	7		3
PXOY=(		,−		,0)
	5		5

================= YOZ: x=0,y∊R,z∊R 3y−z=1 −y+z=2 −−−−−−−−

	3
2y=3, y=
	2

	7
z=
	2

	3		7
PYOZ=(0,		,		)
	2		2

Płaszczyzna XOZ: y=0, x∊R, z∊R dokończ c) równanie parametryczne prostej L: 2x+3y−z−1=0 x − y+z−2=0 z=t 2x+3y=t+1 x−y=−t+2 /*3 2x+3y=t+1 3x−3y=−3t+6 −−−−−−−−− 5x=−2t+7 L:

	7		2
x=		−		t
	5		5

	3		3
y=−		+		t
	5		5

z=0+t, t∊R

	2		3
k→=[−		t,		t,1] wektor kierunkowy prostej
	5		5

d) równanie kanoniczne: k^→ || [−2,3,5]] dla t=1

	7		2
x=		−		=1
	5		5

	3		3
y=−		+		=0
	5		5

z=1 (1,0,1) ∊L

x−1		y		z−1
	=		=
−2		3		5

=============== Posprawdzaj rachunki.

rafcio: Super , wielkie dzięki ,a czy zawsze podstawiam z=t( a nie x lub y =t) ?

Mila: Możesz ustawić x albo y albo z jako parametr, co uznasz za łatwiejsze. Nie jest to zresztą jedyna metoda.

rafcio: no właśnie a jest szybsza ? i dla X0Z wyszło (1,0,1), dobrze ?

rafcio: a w ogóle to dlaczego w 2. c) jest tak k→=[−2/5t;3/5t;1], skąd ta jedynka(powinno być według tego samo t) ? Nie ma być przypadkiem bez tego parametru t

rafcio: i w sumie w ostatnim dlaczego przyjmujemy z=1 ?

Mila: 1) Dla XOZ (1,0,1) 2) Wektor kierunkowy odczytany z postaci parametrycznej (to wsp. przy parametrze t), mój błąd (kopiowałam): Powinno być:

	2		3
k→=[−		,		,1]
	5		5

3) Ponieważ z=t

rafcio: w ostatnim nie ma błędu (według mnie powinno być (x−1)/2=y/(−3)=(z−1)/(−5) ) ?

Mila: Nie ma błędu, ale tak, jak napisałeś też może być, ponieważ wektory: [−2,3,5] || [2,−3,−5] (są równoległe)

Mila: Ułamki piszemy za pomocą dużego U {...}{...} bez tej spacji po U.

rafcio: a no przecież ;

	23
umiałabyś rozwiązać takie zadanko , (mi coś nie wychodzi x=2+		t
	15

	29
y=3+		t
	15

	24
z=1+		t )
	15

Treść: Proszę wyznaczyć równanie prostej l przechodzącej przez punkt P=(2,3,1) przechodzącej przez punkt przebicia płaszczyzny 4x−y+3z+1=0 prostą L : x=t+1 y=−2t z=3t+1 W rozwiązaniu jest: x=2+23t y=3+29t z=1+24t

Mila: 1) L: x=1+t y=−2t z=1+3t 2) podstawiamy do równania płaszczyzny, aby znaleźć t 4*(1+t)−(−2t)+3*(1+3t)+1=0

	8
t=−
	15

P'(x,y,z) punkt przebicia

	8		−8		8		7		16		9
P'(x,y,z)=(1−		,−2*		,1+3*(−		) )=(		,		,−		)
	15		15		15		15		15		15

	7		16		9		23		29		24
P'P→=[2−		,3−		,1+		]=[		,		,		]
	15		15		15		15		15		15

Zatem dobre masz równanie, ale skorzystano, z tego, że

	23		29		24
[		,		,		] jest równoległy do wektora [23,29,24]
	15		15		15

Równanie można zapisać również tak: x=2+23t, y=3+29t z=1+24t, t∊R

rafcio: Aha , czy zawsze można pomnożyć przez mianownik, by usunąć ułamki ?

rafcio: Dzięki za wyjaśnienie tematu i rozwiązanie zadań Z tym ostatnim to chyba bym się nie domyślił i na kolosie się wściekał dlaczego nie wychodzi A tak już wszystko pięknie rozumiem Ostatniego pytania nie było (napisałem zanim zdążyłem pomyśleć )

Mila: [a,b,c] || [α*a,α*b,α*c] i α≠0