zmienne losowe są statystycznie niezależne... tomek: Zmienne losowe X₁ i X₂ są statystycznie niezależne, zmienna losowe X₁ ma rozkład opisany tabelką X₁ | 0 | 1 | 2

	1		1		2
Pr(X1)|		|		|
	6		6		3

(mam nadzieję, że tabelka jest zrozumiała). a zmienna losowa X₂ ma rozkład jednostajny na odcinku [−1,5]. Znaleźć wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y = 10X₁ * X₂ + X₁ − X₂ + 5 oraz wariancje zmiennej losowej Z = 2X₁ + 3X₂ + 4. O co chodzi z tym rozkładem jednostajnym na danym odcinku ?

g: Zmienna X₂ jest ciągła (w odróżnieniu od X₁). Może przyjmować wartości rzeczywiste z zakresu [−1, 5] z jednakowym prawdopodobieństwem (jednostajność rozkładu).

tomek: A jak to się liczy w takim razie ? X₁ mam podane, ale do wyliczenia wartości oczekiwanej potrzebuje X₂. Tak właśnie myślałem, że rozkład jednostajny na odcinku oznacza, że może przybrać dowolną wartość rzeczywistą na tym odcinku. Tzn. może mi ktoś pokazać o co chodzi na przykładzie Y ? mam kilka takich zadanek, także z resztą poradzę sobie na przykładzie tego.

g: Najpierw kilka własności: 1) E[10*X] = 10*E[X], 2) E[X₁+X₂] = E[X₁] + E[X₂], 3) E[5] = 5. 4) E[X₁*X₂] = E[X₁]*E[X₂] (tylko dla zmiennych niezależnych) E[X₁] = 1/6 * 0 + 1/6 * 1 + 2/3 * 2 = 3/2 E[X₂] = 2 (środek zakresu) E[Y] = 10 * 3/2 * 2 + 3/2 − 2 + 5

tomek: To znaczy, że jeśli miałbym zmienną X₂ o rozkładzie jednostajnym na odcinku, dajmy na to, [−5,10] to wartość oczekiwana była by równa E[X₂] = 2,5 ? Dla odcinka [−10,10] E[X₂] = 0, dobrze rozumiem ?

tomek: własności: 1)D²[X] = E[X²] − [E(X)]² 2)D²[X+Y] = D²[X] + D²[Y] E[X1] = 3/2 E[X1²] = 1/6 * 0 + 1/6 * 1 + 2/3 * 4 = 17/6 D²[X1] = 17/6 − (3/2)² = 7/12

	(b−a)2
Wzór na wariancje przy rozkładzie jednostajnym Var[X] =		na przedziale [a,b].
	12

	(5+1)2
D2[X2] =		= 3
	12

D²[Z] = D²[X1] + D²[X2] + 4 = 7/12 + 3 + 4 = 91/12 , tak ?

g: Prawie dobrze, błąd w ostatniej linijce. Dodam dwie własności: 3) D²[3*X] = 3²*D²[X] 4) D²[4] = 0

tomek: To znaczy D²[Z] = 4 * 7/12 + 9*3 + 0 = 88/3 ?

tomek: przepraszam, ale chciałbym już się zabrać za kolejne przykłady. Mógłby ktoś sprawdzić, czy jest dobrze ?