nierówności trygonometryczne gość: Należy wskazać zbiór rozwiązań nierówności IsinxIsinx ≤ 0,5 w przedziale <0,2π> Proszę o pomoc

yht: sinx przyjmuje wartości dodatnie dla x∊<0,π> oraz wartości ujemne dla x∊(π,2π) zatem |sinx| = sinx dla x∊<0,π> |sinx| = −sinx dla x∊(π,2π> stąd wynika, że |sinx|sinx = sinx*sinx = sin²x dla x∊<0,π> |sinx|sinx = −sinx*sinx = −sin²x dla x∊(π,2π> Nierówność |sinx|sinx ≤ 0,5, czyli (niebieski) wykres |sinx|sinx musi być pod (zielonym) wykresem y=0,5. Rozwiązaniem nierówności będzie zatem <0,x_A> ∪ <x_B,2π> Musimy znaleźć współrzedne x−sowe punktów A i B Rozwiązujemy w tym celu równanie |sinx|sinx = 0,5 w przedziale <0,π> bo w takim przedziale są punkty A i B Dla x∊<0,π> jest |sinx|sinx = sin²x więc do rozwiązania jest równanie sin²x=0,5 sin²x − 0,5 = 0 sin²x − (√0,5)² = 0 (sinx−√0,5)(sinx+√0,5) = 0 sinx − √0,5 = 0 lub sinx + √0,5 = 0 sinx = √0,5 lub sinx = −√0,5 sinx = √1/2 lub sinx = −√1/2

	√2		√2
sinx =		lub sinx = −
	2		2

	π		3π		π		5π
x =		+ 2kπ lub x =		+ 2kπ lub x = −		+ 2kπ lub x=		+2kπ
	4		4		4		4

	π		3π
Do przedziału <0,π> załapią się tylko xA=		oraz xB=		i to będą szukane
	4		4

współrzędne punktów A i B

	π		3π
Odp. Rozwiązaniem nierówności jest <0,		> ∪ <		,2π>
	4		4

gość: Serdecznie dziękuję za pomoc