Dana jest parabola y^2=4x, Znajdz równania stycznych do paraboli: Fryderyk: Dana jest parabola y²=4x, Znajdz równania stycznych do paraboli: a) w punktach o odcietej x₀=1 b) prostopadlych do prostej 2x + y − 7 = 0 Gdyby ktoś był na tyle miły i to rozpisał zebym chociaż załapał sposó rozwiązywania takiego zadania. Z góry dziekuje

Edek: x_o=1 y_o=2 v y_o=−2 a)równanie stycznej w punkcie: y−y_o=f'(x_o)(x−x_o)

	1		2
f'(x)=(√4x)'=		*4=
	2√4x		√4x

	2		2
y−2=		(x−1) v y+2=		(x−1)
	√4		√4

y−2=x−1 v y+2=x−1 y=x+1 v y=x−3 b)prostopadła do stycznej jest normalna

	x−xo
gdzie równanie stycznej ma się wzorem : y= −		+yo
	f'(xo)

y=−2x+7

	x−xo
−2x+7=−		+yo
	f'(xo)

	x−1		x−1
−2x+7=−		+2 v −2x+7=−		−2
	1		1

−2x+7=−x+3 v −2x+7=−x−3 x=4 v x=10

AS: W zadaniu 1. Edek popełniłeś błąd Dla punktu (1,−2) ma być y + 2 = ... Równanie drugiej stycznej: y = −x − 1

AS: Mała korekta. Krzywa pod osią Ox ma równanie y = −√4*x tu tkwi błąd w zadaniu.

Fryderyk: no nie łapie tego

AS: Równanie wyraźne paraboli to: y = ±2*√x Wykres składa się z dwóch gałęzi 1−a to część nad osią Ox,wartości wylicza się z wzoru y = 2*√x, ta część zawiera dodatnie wartości y 2−a to część pod osią Ox,wartości wylicza się z wzoru y = −2*√x, ta część zawiera ujemne wartości y Przecież punktu A(1,−2) nie uzyska się z równania y = 2*√x tylko z y = −2*√x

Fryderyk: AS gdybyś znalazł chwilkę i napisał całe rozwiązanie tego zadania, byłbym dozgonnie wdzięczny. Ale i tak wielkie dzięki za pomoc!

Fryderyk: poprzez "rozwiązanie" mam namyśli jak to po kolei liczysz

AS: Jutro będzie rozwiązanie − teraz nie mam czasu.

Fryderyk: Dobrze. Tylko jeśli tylko jest możliwość do godziny 13:00. Bo później mam koło

AS: a) Sposób 1. Korzystam z równania stycznej o danym kierunku (bez wyprowadzenia)

	p
y = m*x +
	2*m

Dla paraboli y² = 4*x mamy p = 2 i xo = 1 yo = ±2 Podstawiam do równania stycznej

	2
2 = m*1 +		⇒ m2 − 2*m + 1 = 0 ⇒ m1 = 1 lub m2 = −1
	2*m

Równania stycznych

	2
y = x*1 +		⇒ y = x + 1 równanie pierwszej stycznej
	2*1

	2
y = x*(−1) +		⇒ y = −x − 1 równanie drugiej stycznej
	2*(−1)

Sposób 2 Korzystam z równania stycznej w punkcie na paraboli y*yo = p*(x + xo) 2*y = 2*(x + 1) ⇒ y = x + 1 −2*y = 2*(x + 1) ⇒ y = −x − 1 Następne sposoby w drugim poście

AS: Sposób 3 Korzystam z równaia prostej przechodzącej przez 1 punkt y − yo = m*(x − xo) W naszym przypadku dla A(1,2) y − 2 = m*(x − 1) ⇒ y = m*(x − 1) + 2 Wstawiam do równania paraboli [m*(x − 1) + 2]² = 4*x m²*(x − 1)² + 4*m*(x − 1) + 4 = 4*x m²*x² − 2*m²*x + m² − 4*m*x − 4*m + 4 − 4*x = 0 m²*x² − (2*m² − 4*m + 4)*x + m² − 4*m + 4 = 0 Warunek styczności: Δ = 0 Δ = (2*m² − 4*m + 4)² − 4*m²*(m² − 4*m + 4) = 0 4*m⁴ + 16*m² + 16 − 16*m³ + 16*m² − 32*m − 4*m⁴ + 16*m³ − 16*m² = 0 16*m² − 32*m + 16 = 6 |:16 m² − 2*m + 1 = 0 ⇒ (m − 1)² = 0 ⇒ m = 1 Równanie stycznej: y = 1*(x − 1) + 2 ⇒ y = x + 1 Analogicznie rozwiązuje się dla B(1,−2) Wtedy równanie stycznej y = −x − 1 Sposób 4 (z wykorzystaniem pochodnej) y − yo = f'(xo)*(x − xo) dla gałęzi powyżej osi Ox równanie krzywej f(x) = 2*√x , S1(1,2)

	1		1
f'(x) = 2*		=
	2*√x		√x

	1
f'(x = 1) =		= 1
	√1

Równaine stycznej: y − 2 = 1*(x − 1) ⇒ y = x + 1 dla gałęzi poniżej osi Ox równanie krzywej f(x) = −2*√x , S2(1,−2)

	1		1
f'(x) = −2*		= −
	2*√x		√x

	1
f'(x = 1) = −		=−1
	√1

Równanie stycznej: y + 2 = −1*(x − 1) ⇒ y = − x − 1

AS: Poprawka − mały błąd w a) ...

	2
2 = m*1 +		⇒ m2 − 2*m + 1 = 0 ⇒ (m − 1)2 = 0 ⇒ m = 1
	2*m

Podobnie dla drugiego punktu

	2
−2 = m*1 +		⇒ m2 + 2*m + 1 = 0 ⇒ (m + 1)2 = 0 ⇒ m = −1
	2*m

Równania stycznych itd

Fryderyk: Nie wiem jak Ci dziękować! Ratujesz mi życie