granice Emilka: Udowodnij, korzystając z definicji Cauchy’ego granicy ciągu, że lim x² − 2x = 3 x→1 bardzo bym prosilabym o dokladny rozpis

Janek191: Ciągu, czy funkcji ?

Emilka: fukcji*

Mariusz: Czy tam aby na pewno x dąży do 1 Według mnie x powinien dążyć do −1

Emilka: na pewno do 1

Janek191: Może jest x² + 2 x ?

Emilka: racja jest +

jc: Niech ε > 0. Możemy na początek przyjąć, że |x−1| ≤ 1. Wtedy |x+3| ≤ 5, |x² + 2x − 3| = | (x−1)(x+3) | ≤ 5 |x−1|. Widzimy, że jeśli |x−1| < δ = min(ε/5, 1), to |x² + 2x − 3| < ε.

Emilka: Skąd się wzięło |x+3| ≤ 5 ?

Janek191: Dodano 4 do obu stron nierówności.

Emilka: Dlaczego akurat 4?

jc: Odległość x od 1 nie przekracza 1. Dlatego odległość x od −3 nie przekracza 5 Formalnie |x−1| ≤ 1 −1 ≤ x − 1 ≤ 1 dodajemy 4 3 ≤ x + 3 ≤ 5 |x + 3| ≤ 5