nierownosc Krzysiek58: Nierownosci to nie moja specjalnosc wiec proszse o pomoc w dowodzie takiej nierownosci a⁴+b⁴≥ab(a+b) w miare prosto i bez srednich na razie . dziekuje

jc: Nie równość może nie zachodzić, np. dla a=b=1/2 mamy L = 2/16 = 1/8, P = 2/8 = 1/4. Proponuję zająć się taką nierównością: a⁴+b⁴ ≥ ab(a²+b²).

Jack: nie zachodzi dla kazdej liczby rzeczywistej a,b chyba ze sa jakies dodatkowe zalozenia?

Krzysiek58: Dziekuje za odpowiedzi . Sprobuje to zrobic po poludniu jak wroce do domu . Wtedy tez Jack pomoge przy tym ukladzie rownan . Tylko sie nie przerazaj

Krzysiek58: a⁴+b⁴≥a³b+ab³ a⁴−a³b−ab³+b⁴≥0 a³(a−1)−b³(b−1)≥0 ale to w sumie nic mi ne dalo

Omikron: Bo źle przed nawias wyciągnąłeś.

Krzysiek58: co ja napisalem ma mbyc a³(a−b)−b³(a−b) ≥0 TEraz juz chyba wiem (a−b)(a³−b³ ) ≥0 (a−b)(a−b)(a²+ab+b²) ≥0 (a−b)²(a²+ab+b²) ≥0 (a−b)²≥0 ta nierownosc zachodzi zawszse a²+ab+b²≥0 (tez zawszse ale nie wiem jak to uzasadnic

Krzysiek58: Mozna jeszcze dopisac ze rownosc zachodzi gdy a=b=0

jc: Jak pamiętam, chodziło o formę dowodu. Spróbuj więc zapisać dowód. a² +ab + b² faktycznie jest nieujemne (załóż na razie, że tak jest).

Krzysiek58: Przepraszam jc nie wymysle ( po prostu nie wiem Jeszce te przeksztalcenia jakos poszly ale tego nie weim

Kuba: a² + b² + ab > 0 / *2 2a² + 2ab + 2b² > 0 a² + b² + (a+b)² > 0 To kończy dowód

Krzysiek58: Dziekuje kolego . Nie wpadlbym na to . Klania sie brak rozwiazywania takich zadan

jc: Kuba, nierówność umieściłem pod dyskusją, jak zapisywać dowody. Nawet z tym, co napisałeś jest pewien kłopot. Wychodząc z nierówności a²+ab +b² ≥ 0, pokazujesz, że suma kwadratów jest nieujemna (to akurat wiemy). A przecież chodzi o dowód nierówności: a²+ab +b² ≥ 0.

Krzysiek58: jc a²+ab+b² to jest niepelny kwadrat (a+b)² ale czy to sie przyda titaj to nie wiem .

Omikron: Drugi sposób na cały dowód (czasami działa, spróbuj jeżeli nie masz pomysłu na wyciąganie i doprowadzanie do odpowiedniej postaci). Po przeniesieniu wszystkiego na lewą stronę. Niech f(a)=a⁴−ba³−b³a+b⁴ f'(a)=4a³−3ba²−b³ Łatwo można zauważyć, że miejscem zerowym jest b. Dalej Horner. f'(a)=(a−b)(4a²+ba+b²) Delta jest równa −15b², a więc zawsze jest ujemna. W takim razie jest jedno miejsce zerowe a=b i w tym punkcie funkcja przyjmuje minimum i jest to jednocześnie wartość najmniejsza. Teraz sprawdzamy jaką wartość przyjmuje funkcja w tym punkcie. f(b)=b⁴−b⁴−b⁴+b⁴=0 Skoro najmniejszą wartością funkcji jest 0, to funkcja jest zawsze ≥0 co kończy dowód.

Krzysiek58: Omikron Jednak na chwile obecna wolalbym podstawowy sposob ja to twoje rozwiazanie rozumiem , ale nie weim czy przecietny licealista tez )

Krzysiek58: bede szukal .

Omikron: Rozumiem. Co do rozwiązania Kuby, jc chodziło zapewne o to, że powinno być odwrócone. Czyli a²+b²+(a+b)²≥0 zawsze prawdziwe jako suma kwadratów trzech liczb a²+b²+a²+2ab+b²≥0 2a²+2ab+2b²≥0/:2 a²+ab+b²≥0 c.k.d.

jc: Dowód. a² + ab + b² = [ a² + (a+b)² + b² ] /2 ≥ 0. −−− Krzysiek, chodzi o to, aby wychodzić z uznanych faktów i założeń, a kończyć na tym, co się chce pokazać. −−− A dowód oryginalnej nierówności można było zapisać tak: Załóżmy, że a ≥ b (przypadek a ≤ b rozpatrujemy podobnie). Wtedy a³ ≥ b³, a−b ≥ 0 oraz a³ − b² ≥ 0. Stąd (a−b)(a³−b²) ≥ 0. Po wymnożeniu i uporządkowaniu uzyskujemy nierówność a⁴ + b⁴ ≥ ab(a²+b²).

jc: Właśnie tak, Omikron. Chodziło o kolejność

Krzysiek58: No tak Tylko jak pisal na forum kiedys kolega PW skad ja mam to wiedziec ? ja naprawde nie robilem do teraz takich zadan . Pisales zeby odrzucic skrytpty i ksiazki uczelniane a zjrzyc do innych napisz jakich ?

jc: Nic nie odrzucać. Nie wiem, co zaproponować. W zasadzie znam i mam tylko dobre podręczniki lub książki popularnonaukowe. Być może, do każdego co innego dociera. Próbowałem nauczyć się statystyki ze skryptu pwr i zupełnie nic z tego nie wyszło. Nawet znani matematycy piszą stylem, który mi nie odpowiada, choćby Sierpiński (choć zaproponowany przeze mnie dowód jest właśnie tak napisany). Mój nauczyciel matematyki zwracał dużą uwagę na logikę wypowiedzi. Dużo większą niż na znajomość faktów i sprawność rachunkową. I tak mi zostało.

Krzysiek58: jc Moze bede wstawial zadanka tutaj na forum i beda jakies postepy Mozesz napisac jakies tytuly tych ksiazek ?

myszka: Wykaż a⁴+b⁴≥ ab(a+b) z nierówności między średnimi am−gm

	3a4+b4
		≥4√a4*a4*a4*b4=4√a12b4= a3b
	4

	a4+3b4
		≥4√a4b12=ab3
	4

+ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ( dodając stronami) a⁴+b⁴≥ a³b+ab³ a⁴+b⁴≥ ab( a²+b²) i a²+b²≥ a+b to a⁴+b⁴≥ab(a+b) c.n.w

Krzysiek58: Dziekuje Ci myszko c.n.w. (ale ja nie wiedzialem

zombi: "Wędrówki po krainie nierówności" − L.Kurlyandchik

Metis: Kiedyś Vax polecał

Omikron: Pomyśl nad takim dowodem: Wykaż, że dla a,b,c,d>0 prawdziwa jest nierówność √a+b*√c+d≥√ac+√bd Zadanie z tegorocznego rozszerzenia (czerwcowej wersji).

Krzysiek58: szkoda ze juz nie ma zombiego bo dopytalbym go o ta ksiazke Omikron Zrobilbym to tak Zalozmy ze taka nieerownosc istnieje Obie strony nierownosci sa dodatnie wiec podnosze je sytronami do potegi drugiej (a+b)(c+d) ≥a*c+2√ac *bd+bd⇔ ⇔a*c+ad+bc+bd≥ac+2√acbd+bd ⇔ ⇔ac−ac+Bd−bd+ad+bc−2√acbd≥0 ⇔(√ad−√bc)²≥0 W wyniku przeksztalcen rownowaznych otrzymalismy nierownosc prwdziwa wobec tego nierownoasc wyjsciowa jest jest prawdziwa

Omikron: Dobrze

Krzysiek58: witaj

Omikron: Cześć To jeszcze zobacz dowód z czerwca 2013 (Kiełbasa oznaczył jako trudniejsze zadanie) Uzasadnij, że jeżeli 2a+b≥0, to 2a³+b³≥3a²b

Krzysiek58: Ja pozniej to postarm sie zrobic Tak pobieznie etraz to chba trzeba bedzie skorzystac z (a+b)³ To tylko tak na razie

Omikron: Ok, oczywiście, zrób jak będziesz miał czas.

6latek :

Krzysiek58: Omikron ja sobie teraz przeanalizuje te nierownosci co byly na maturach Potem zajme sie tymi ktore mam w swoim zbiorze zadan .

Godzio: 2a³ − 2a²b + b³ − a²b ≥ 0 2a²(a − b) − b(a² − b²) ≥ 0 2a²(a − b) − b(a − b)(a + b) ≥ 0 (2a² − b(a + b))(a − b) ≥ 0 (2a² − ab − b²)(a − b) ≥ 0 (2a² − 2ab + ab − b²)(a − b) ≥ 0 (2a(a − b) + b(a − b))(a − b) ≥ 0 (a − b)(2a + b)(a − b) ≥ 0 (a − b)²(2a + b) ≥ 0 Tyle.

Godzio: Pomiędzy przejściami warto dodać znak równoważności ⇔

Krzysiek58: Godzio tak . Tutaj nalezalo zauwazyc ze −3a²b= −2a²b−a²b Sprawa jest tego rodzaju ze nalezy rowiazac troche takich przykladow zeby to od razu zauwazyc CO sadzisz o tej ksiazce Wedrowki po krainie nierownosci ? czytalem troche na jej temat to ona bedzie raczej dla olimpijczykow .

jc: Proponuję uogólnienie nierówności z godziny 18:59 √a+b+c √x+y+z ≥ √ax + √by + √cz, a,b,c,x,y,z ≥ 0

Krzysiek58: Dobry wieczor jc chyba tak z 10 lat temu ogladalem taki film produkcji amerykankiej z czasow imperium rzymskiego Tam byla taka kwestia I Ty Brutusie przeciwko mnie Sprobuje to zrobic skorzystam z ewzoru (a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac dla prawej strony

Godzio: Tylko o niej słyszałem, nic ciekawego powiedzieć nie mogę I tak, zgadzam się, ćwiczenia czynią mistrza − dlatego nie można się poddawać.

Krzysiek58: W takim razie probuje Najwyzej nie wyjdzie (ale probowalem Ze wzgledu na zalozenie moge podniesc do potegi dugiej obie strony nierownosci (√(a+b+c)(x+y+z))²≥(√ax+√by+√cz )²⇔ ⇔(a+b+c)(x+y+z)≥ax+by+cz+2√axby+2√axcz+2√bycz ⇔ ⇔ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz≥ax+by+cz+2√axby+2p{axcz)+2√bycz ⇔ay+az+by+bz+cx+cy≥2√axby+2√axcz+2√bycz Teraz tylko muszse to jakos pogrupowac zeby dostac nierownosci prawdziwe takie jak w 18:59 To moz esprobuje tak to zrobic bz−2√bycz+cy + cx−2p{axcz)+az + cos musialem zrobic zle bo zosatlo mi ay*by a takiego pierwiastka nie mam

Krzysiek58: jc Juzz teraz widze gdzie mam blad . Zamiast odjac by to odjalem bx wobec tego bedzie tak ⇔ay+az+bx+bz+cx+cy ≥2√axby+2√axcz+2√bycz ⇔(bz−2√bycz+cy) +(cx−2√axcz+az) + (ay−2p{axby+bx)≥0 ⇔(√bz−p{cy)²+(√cz−√az)²+(p{ay−√bx)²≥0 W wyniku przeksztalcen rownowanych otrzymalem nierownosc prawdziwa co oznacza ze wyjscowa nierownosc tez jest prawdziwa . Teraz powinno byc dobrze .

Krzysiek58: Chochlik ma byc √cx a nie √cz

Metis: Godzio jak Ci tam leci?

jc: powtórzyłeś dowód nierówności Schwarza. u = (√a, √b, √c) v = (√x, √y, √z) u*v ≤ |u| |v| Iloczyn skalarny ≤ iloczyn długości

Krzysiek58: Dziekuje Ci bardzo