Interpolacja Lagrange'a ola: Witam wszystkich! Chciałabym aby ktoś mi wytłumaczył jak się oblicza za pomocą interpolacji Lagrange'a kolejne punkty na osi współrzędnych. Powiedzmy dla prostego przykładu np: x y 1 2 2 4 3 6 ? ? ? ? ? ? W jaki sposób za pomocą tej metody obliczyć współrzędne trzech kolejnych punktów

Qulka: ponieważ znasz 3 punkty to zakładasz że wielomian jest 3−1=2 stopnia wiec masz y=ax²+bx+c wstawiasz swoje punkty i obliczasz z układu a,b,c i potem możesz liczyć już kolejne punkty

Qulka: albo tak http://www.algorytm.org/procedury-numeryczne/interpolacja-lagrange-a.html

yht: obadaj stronę nr 3 z następującego linka: http://www.tu.kielce.pl/~rokach/instr/mes1_wyklad_07_marg.pdf

ola: rozumiem ze wykonuję układ równań: 2 = a + b + c 4 = 4a + 2b + c 6 = 9a + 3b + c Po obliczeniu wychodzi mi że: a = 0 b = 2 c = 0 i co dalej aby wyliczyc moje niewiadome x oraz y ? Czy mam podstawiać kolejne wiersze pod: y = 0x² + 2x + 0 ?

yht: Dokładnie To szczególny przypadek że punkty (1,2), (2,4), (3,6) leżą na jednej prostej dlatego wyszła funkcja liniowa (tutaj akurat) y=2x

ola: dobrze , ale oblicze nieznane punkty, tylko wtedy gdy znam (czyli wymysle sobie jakiegoś) x tak A mi chodzi o to czy mogłabym obliczyć dalsze współrzędne, kiedy nie znam x Np. mam współrzędne w różnym czasie : sekunda x y 1 1 3 2 3 5 3 4 10 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 7 16 17 (czyli sygnał został przerwany i za pomocą interpolacji Lagrange'a chciałabym obliczyć współrzędne które zanikły w sekundzie: 4,5,6 (wiem, że interpolacja nie pokaże idealnej drogi i będzie w jakimś stopniu różnić się od drogi jaka powinna być)) I czy w przypadku jaki podałam, nie znając x oraz y w sekundzie : 4,5,6 można za pomocą interpolacji obliczyć: x i y w tych sekundach ? Jeśli tak to proszę o jakieś naprowadzenie

yht: Wg mnie można wyliczyć x−sy na podstawie tych sekund (s) dla 3. sekundy x wynosi 4 dla 7. sekundy x wynosi 16 x(s) = m*s + n − funkcja liniowa 4 = m*3 + n 16 = m*7 + n układ równań Po rozwiązaniu tego układu wychodzi m=3, n=−5 czyli x(s) = 3s − 5 na podstawie powyższego wzoru możesz policzyć sobie x−sy np. dla 4. sekundy czyli dla s=4 masz x(4) = 3*4−5 = 12−5 = 7 dla s=5 x(5) = 3*5−5 = 10 s=6 x(6) = 3*6−5 = 13 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− sekunda x y 1 1 3 2 3 5 3 4 10 4 7 ? 5 10 ? 6 13 ? 7 16 17 i teraz korzystasz z wielomianu Lagrange'a (z linka który podrzuciłem) budujesz wielomian Lagrange'a przechodzący przez punkty A=(1,3), B=(3,5), C=(4,10), D=(16,17) Po pierwsze:

y(x) = 3*		+ 5*		+ 10*		+ 17*

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Po drugie, miejsca zerowe

	(x−3)(x−4)(x−16)		(x−1)(x−4)(x−16)
y(x) = 3*		+ 5*		+

	(x−1)(x−3)(x−16)		(x−1)(x−3)(x−4)
10*		+ 17*

Wielomian y(x) ma tak jakby 4 części Pierwsza część zaczyna się 3−ką to jest współrzędna y−kowa punktu A w nawiasach są miejsca zerowe pozostałych punktów − czyli B, C, D Druga część zaczyna się 5−tką − to jest współrzedna y−kowa punktu B w nawiasach są miejsca zerowe pozostałych punktów a więc A, C, D Analogicznie trzecia i czwarta część mam nadzieję że wiesz o co chodzi, jeśli nie to pytaj −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Po trzecie, uzupełniamy mianowniki

	(x−3)(x−4)(x−16)
y(x) = 3*		+
	(1−3)(1−4)(1−16)

	(x−1)(x−4)(x−16)
5*		+
	(3−1)(3−4)(3−16)

	(x−1)(x−3)(x−16)
10*		+
	(4−1)(4−3)(4−16)

	(x−1)(x−3)(x−4)
17*
	(16−1)(16−3)(16−4)

Uwaga! Mianowniki będą takie same jak liczniki, tylko że w mianownikach zamiast x−sów będą po prostu współrzędne x−sowe punktów odpowiadających za poszczególne części wielomianu Np. za pierwszą część wielomianu a więc

	(x−3)(x−4)(x−16)
3*		odpowiada punkt A=(1,3) czyli x−sy
	(1−3)(1−4)(1−16)

w mianowniku uzupełniamy jedynkami bo taka jest współrzędna na iksie punktu A

	(x−1)(x−4)(x−16)
Za drugą część wielomianu a więc 5*
	(3−1)(3−4)(3−16)

odpowiada punkt B=(3,5) więc x−sy w mianowniku uzupełniamy trójkami bo taka jest współrzędna na iksie punktu B dalej trzecia i czwarta część wielomianu − analogicznie i teraz obliczamy mianowniki

	(x−3)(x−4)(x−16)		(x−1)(x−4)(x−16)		(x−1)(x−3)(x−16)
y(x) = 3*		+ 5*		+ 10*		+
	−90		26		−36

	(x−1)(x−3)(x−4)
17*
	2340

Mamy jawny wzór wielomianu Lagrange'a wracamy do naszej tabelki: sekunda x y 1 1 3 2 3 5 3 4 10 4 7 ? 5 10 ? 6 13 ? 7 16 17 Możemy policzyć teraz y−greki na podstawie iksów np. pierwszy z brzegu y policzymy, wstawiając do wielomianu Lagrange'a

	(x−3)(x−4)(x−16)		(x−1)(x−4)(x−16)		(x−1)(x−3)(x−16)
y(x) = 3*		+ 5*		+ 10*		+
	−90		26		−36

	(x−1)(x−3)(x−4)
17*
	2340

x=7 czyli liczymy y(7)

	(7−3)(7−4)(7−16)		(7−1)(7−4)(7−16)		(7−1)(7−3)(7−16)
y(7) = 3*		+ 5*		+ 10*		+
	−90		26		−36

	(7−1)(7−3)(7−4)
17*
	2340

y(7) = 3,6 − 31,15 + 60 + 0,52 ≈ 32,97 analogicznie, liczymy później y(10) i y(13) wychodzi mi y(10) ≈ 53,84 y(13) ≈ 54,54 sekunda x y 1 1 3 2 3 5 3 4 10 4 7 32,97 5 10 53,84 6 13 54,54 7 16 17

yht: ewentualnie zamiast układem równań 4 = m*3 + n 16 = m*7 + n możesz wyliczyć brakujące trzy iksy dla s=4,5,6 metodą wielomianu Lagrange'a − wtedy punkty by były takie: A=(1,1), B=(2,3), C=(3,4), D=(7,16) wtedy być może uzyskalibyśmy dokładniejsze wyniki ?

ola: rozumiem wszystko dziękuję . A teraz takie pytanie , ponieważ sekundy ze znanymi danymi to : 1,2,3 i 7. I ty użyłeś tych danych do budowy wielomianu: A=(1,3), B=(3,5), C=(4,10), D=(16,17). I teraz pytanie 1 ) Gdybym miała więcej danych: 1 1 3 2 3 5 3 4 10 4 8 12 5 6 7 8 20 20 9 21 29 To w takim przypadku biorę więcej punktów tak czyli A(1,3) , B(3,5), C(4,10), D(8,12), E(20,20), F(21,29) (Wtedy wielomian będzie większego stopnia ) Pytanie 2) A czy w takim przypadku mając tyle danych mogę wziąć np tylko 3 punkty A(4,10), B(8,12), C(20,20) ? Pytanie 3) Chociaż nie wiem sama czy to pytanie dobre , ponieważ w takim razie biorąc pod uwagę powyższe "mniemania " zastanawia się ,czy w przypadku gdy jest mi znane wiele punktów (np jak w przypadku powyżej (pytania 1) ) lepiej zrobić do obliczeń wielomian stopnia 3−go czy aż 6−go(bo tyle danych) czy może 4 −tego lub 5−tego (przecież w zależności co wybiorę dane będą się troszkę różnić chyba ) ?

ola: dopiero przeczytałam Twoją drugą wiadomość . Tak za pomocą Lagrang'a wyliczam iksy i są raczej dokładniejsze.

yht: Pytanie 1) Tak, więcej punktów i tak, wielomian będzie większego stopnia Pytanie 2) Wydaje mi się że można tylko 3 punkty, ale lepiej 6 Pytanie 3) Przez 6 punktów możesz wygenerować wielomian max. 5−tego stopnia, nie szóstego Dlaczego tak ? Generalnie zasada jest taka że przez n punktów przechodzi wielomian stopnia co najwyżej n−1 Tak jak przez 2 punkty przechodzi linia prosta (czyli wielomian 1−wszego stopnia) − tak to działa −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Ja bym zaczął od wyznaczania x−sów i zrobił bym to też wielomianem, a nie układem równań A=(1,1), B=(2,3), C=(3,4), D=(4,8), E=(8,20), F=(9,21) napisał wielomian i potem policzył wartości tego wielomianu dla 5, 6 i 7 i w ten sposób wyszłyby mi te 3 brakujące iksy z tabelki załóżmy że brakujące iksy wyszły 9,5; 12; 18 (nie wiem czy takie wyjdą − zmyśliłem) uzupełniłbym tabelkę 1 1 3 2 3 5 3 4 10 4 8 12 5 9,5 6 12 7 18 8 20 20 9 21 29 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Potem bym zrobił kolejny wielomian y(x), z takimi punktami A,B,...,F jakie podałaś i potem policzyłbym igreki jako wartości wielomianu w tych trzech iksach, które wyszły z tego pierwszego wielomianu y(9,5) = ... y(12) = ... y(18) = ... −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Także masz zacząć od wyznaczenia wielomianu w oparciu o punkty A=(1,1), B=(2,3), C=(3,4), D=(4,8), E=(8,20), F=(9,21) Jeśli czegoś nie wiesz to pytaj

ola: no tak, z tym wielomianem to gape strzeliłam ( no jeśli punktów jest 6 to jest 5−tego stopnia , tylko się mi coś pomyliło ) Zadałam wcześniej pytanie 3) (czy jeśli jest dużo znanych punktów, np: 6 jak w przykłąddzie, to czy lepiej interpolować wielomianem 5 stopnia, czy wybrać 4 punkty i interpolować wielomianem stopnia 3−go? Dlaczego tak pytałam ? Ponieważ w internecie znalazłam że najlepiej interpolować jest wielomianem 3 stopnia i myślałam że jest najlepiej go wybrać jeśli jest nawet duzo punktów.... ale to chyba nieprawda.

a: mi się wydaje, że jeśli masz 6 węzłów interpolacji, to używasz ich wszystkich, przecież taka jest idea interpolacji − wielomian interpolacyjny ma przechodzić przez wszystkie dane węzły.

ola: Chyba tak... tylko im większy wielomian tym więcej obliczeń . No ale raczej tak jest. Dziękuję za pomoc ,bardzo dużo się dowiedziałam, super wytłumaczyłeś " yht " dziękuję

ola: Ostatnie pytanie już a gdybym przeprowadzała interpolację dla współrzędnych : x, y, z i miała dane tylko sekundy jak we wcześniejszych rozważaniach to czy robię: Najpierw z interpolacji lagrange'a obliczam "iksy" z pomocą danych z sekund, następnie za pomocą wyliczonych "iksów" obliczam interpolacją lagrange'a "igreki" . A jak liczę "zety" ? Z użyciem x, czy może y ? czy to obojętne ?

yht: Pokaż mi tabelkę jakie konkretne masz dane Być może da się zastosować taką interpolację żeby nią policzyć x −sy, y−ki i zety za jednym razem