udowodnij 6latek : Mam takie zadanie udowodnij ze jesli n jest liczba naturalna wieksza od 4 to miedzy n i 2n jest zawarta przynajmniej jedna liczba naturalna ktora jest kwadratem liczby natutalnej jesli n=5 to 2n=10 i taka liczba bedzie 9 bo 9=3² Ale nie wiem jak to udowodnic .

fr: Może tak: n < n + 1 < 2n n² < n² + 2n + 1 < 4n²

6latek : Mozesz wyjasnic dlaczego napisales n+1 ?

fr: no bo wtedy zachodzi to dal n>1

6latek : Moze ja to zle rozumuje ale jesli mam n> 4 i np mam n=6 to pomiedzy 6 i 12 moge wstawic liczby n+1=7 n+2=8 n+3=9 n+4=10 n+5=11 Wiec dlatego zapytalem dlaczego n+1 ?

jc: Dla danego n, niech k będzie najmniejszą liczbą, której kwadrat jest większy od n: (k−1)² ≤ n < k² Teraz wystarczy pokazać, że k² < 2n. Załóżmy, że jest odwrotnie, tzn. 2n ≤ k². Wtedy 2(k−1)² < k², inaczej (k−2)² < 2. Ale dla k ≥ 4 to niemożliwe. Mamy więc dowód dla n ≥ 9. Dla mniejszych n można sprawdzić bezpośrednio. 5 < 3² < 10 6 < 3² < 12 7 < 3² < 14 8 < 3² < 16

6latek : Na razie dziekuje ci Muszse to zrozumiec chcialem to zapisac tak n<k²<2n i zrobic √n<k<√2n i tutaj stanalem

6latek : znalazlem takie rozwiazanie ale nie rozumiem pewnwgo przejscia tutaj jest tak jak zaczalem √n<k,√2n i teraz jest tak Jezeli √2n−√n>1 to liczba k istnieje √2n−√n>1 ⇔√n>√2+1(tu btaj nie rozumiem dlaczego zginelo n w √2 ⇔n>3+2√2 (to rozumiem bo podniesiono obie srtony do potewgi drgiej 6.3+2√2>5 wiec udowodniono tw dla n≥6 dla n=5 jest 5<9<10 to k=3

jc: Dla n ≥ 9 (dla n = 5,6,7,8 osobny dowód) mamy: √2n − √n = √n(√2−1) > 3(√2−1) ≥ 1. ostatnia nierówność ⇔ 3√2 ≥ 4 ⇔ 18 ≥ 16. Ponieważ √2n − √n > 1, więc dla pewnego dodatniego całkowitego k √n < k < √2n, co jest równoważne z nierównością n < k² < 2n. Nierówność może być prawdziwa dla mniejszych n, ale po co się męczyć.

6latek : Na razie to zadanie jc odpuszcam .

jc: 6latku, sam zaproponowałeś poprawne rozwiązanie. Wystarczy pokazać, że √2n − √n > 1. Wtedy pomiędzy √n a √2n znajdziemy liczbę całkowitą k. Jasne jest, że różnica √2n − √n rośnie wraz z n. Wystarczy więc pokazać nierówność dla jakieś małej liczby n. Dla większych będzie o.k.