Udowodnij - dzielnik Mitse: Witam! Uzasadnić, że jeżeli a|b oraz a|c, to a|(b²+3c+2bc). Moje rozwiązanie: Korzystam z własności : Jeżeli a|b i a|c, to a|(b+c). b²+3c+2bc = b²+2bc+3c = (b+c)² * ³_c = (b+c) (b+c) * ³_c = (b+c) * (3b+3) CKD Czy mój dowód jest poprawny?

Adam:

	3
b2+2bc+3c = (b+c)2 *		skąd się to wzieło?
	c

Saizou :

	3		3		3b2
(b+c)2•		=(b2+2bc+c2)•		=		+6b+3c ≠ b2+3c+bc
	c		c		c

Adam: skoro możesz skorzystać z tego że a|(b+c) to zauważ że a|b² oraz a|3c oraz a|2bc

Adam: możesz po prostu napisać że b jest pewną wielokrotnością a, to samo z c, i na tej podstawie pokazać że b²+3c+2bc jest wielokrotnością a

Mitse: korzystając z własności: Jeżeli a|b i a|c, to a|(b+c) wynika, że; a dzieli b², oraz 2bc, a także 3c więc; a jest wielokrotnością b oraz c; z tego wynika że a jest wielokrotnością b²+2bc+3c więc; a|(b2+3c+2bc) CKD. Czy dobrze to napisałem?

Adam: b=a*k₁ c=a*k₂, k₁,k₂∊C b²+2bc+3c=a²k₁²+2a²k₁*k₂+3ak₂= =a*(a*k₁²+2a*k₁*k₂+3k₂), ponieważ (a*k₁²+2a*k₁*k₂+3k₂)∊C to a|(b²+2bc+3c)

Mitse: " a*(a*k12+2a*k1*k2+3k2)". Dlaczego wyłączyłeś a przed nawias?

Adam: by pokazać że liczba jest krotnością a

Adam: a*(a*k₁²+2a*k₁*k₂+3k₂)=ak₀ , k₀∊C

Mitse: Niezbyt także rozumiem dlaczego stwierdziłeś to: " ponieważ (a*k12+2a*k1*k2+3k2)∊C to a|(b2+2bc+3c)"

Adam: jeśli k₀ nie byłoby całkowite to a nie byłoby krotnością b²+2bc+3c ale skoro k₀ jest całkowite to a jest krotnością b²+2bc+3c więc a dzieli b²+2bc+3c bez reszty, a|(b²+2bc+3c)

Mitse: Dziękuję bardzo za poświęcony czas mam jeszcze tylko pytanie. Czy moim sposobem dało by się jakoś to udowodnić?

Adam: masz a|b oraz a|c a|b ⇒ a|b² a|c ⇒ a|3c a|b ∨ a|c ⇒ a|2bc a|b² ∧ a|3c ∧ a|2bc ⇒ a|(b²+2bc+3c) coś takiego?

Adam: więc a|b ∧ a|c ⇒ a|(b²+2bc+3c)

Mitse: miałem raczej na myśli to co napisałem na samym początku. Pan się chyba odwołał to tego co później napisałem (to znaczy że to jest poprawne co pan teraz napisał?)

Adam: w twoim sposobie zrobiłeś poważny błąd

	3
b2+2bc+3c ≠ (b+c)2 *
	c

więc nie to co ja napisałem jest jak najbardziej ok, tu masz skrócone a|b ∧ a|c ⇒ a|b² ∧ a|3c ∧ a|2bc a|b² ∧ a|3c ∧ a|2bc ⇒ a|(b²+2bc+3c) i proszę, nie mów mi per pan, bo ja taki stary nie jestem

Mitse: Dobrze dziekuję!