wzor zwarty lubieserniktytez?: Znajdź wzór zwarty dla ciągu: [ 2, dla n=0; [ 7, dla n=1; an=[ 49, dla n=2; [ 4(an−1)+3(an−2)−18(an−3)=3

Mariusz: Funkcję tworzącą miał ? A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ Możesz też spróbować w ten sposób Równanie jednorodne rozwiązujesz przekształcając w układ równań którego rozwiązaniem jest x_n=Aⁿx₀ Obliczasz wartości własne a później uogólnione wektory własne (A−λI)^kv=0 λ wartość własna k krotność wartości własnej v uogólniony wektor własny odpowiadający wartości własnej λ Aⁿ=(λI+(A−λI))ⁿ Korzystasz z dwumianu Newtona ponieważ macierze λI oraz (A−λI) komutują (w tym przypadku mnożenie jest przemienne) Równanie niejednorodne obliczasz uzmienniając stałe Rozwiązujesz układ równań z macierzą Casoratiego a wynik sumujesz Jeżeli rozwiązaniami szczególnymi równania jednorodnego są φ₁(n) φ₂(n) φ₃(n) ... φ_m(n) to rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego jest postaci C₁(n)φ₁(n)+C₂(n)φ₂(n)+C₃(n)φ₃(n)+...+C_m(n)φ_m(n) Na koniec na podstawie warunków początkowych obliczasz stałe Z tym drugim sposobem spotkasz się na równaniach różniczkowych za to ten pierwszy ma tę zaletę że wystarczy wstawić funkcję tworzącą do równania i każdy krok obliczeń wynika z poprzedniego Równanie ma stałe współczynniki więc funkcja tworząca będzie funkcją wymierną więc do jej rozwinięcia wystarczy szereg geometryczny i jego pochodne

jc: Czy miało być tak? a₀ = 2 a₁ = 7 a₂ = 49 a_n = 4 a_n−1 + 3 a_n−2 − 18 a_n−3 + 3 dla n ≥ 3. Ale może zupełnie inaczej? Skąd pomysł, aby tak dziwnie napisać nawiasy? Co miało oznaczać 4 (an−1) ? 4*(a*n−1) czy 4*a(n−1) ?

lubieserniktytez?: A nie można po prostu obliczyć tego jako: t³=4t²+3t−18 t³−4t²−3t+18=0 czyli t=−2 oraz t=3 czyli wychodzi mi: a(−2)ⁿ+b(3)ⁿ z tego mam układ równań: a(−2)⁰+b(3)⁰=2 a(−2)+b(3)=7 a(−2)²+b(3)²=49 dalej nie wiem jak mam wyliczyć a i b

Mila: Nie odpowiedziałeś na pytanie JC wpis 21: 27.

lubieserniktytez?: Tak, miało być tak jak napisał JC

Mariusz: jc Może dlatego że nie ma tutaj texa ? Do tego z czego chcesz skorzystać jest dużo pytań 1. Skąd założenie że rozwiązania jest postaci λⁿ 2. Co z rozwiązaniem równania w przypadku pierwiastków wielokrotnych 3. Dlaczego tak a nie inaczej przewidujesz rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego ? Funkcję tworzącą wystarczy tylko wstawić do równania i każdy krok obliczeń wynika z poprzedniego Ja też zauważyłem te dwa znaki równości

lubieserniktytez?: Chcę to rozwiązać i zrozumieć w najprostszy możliwy sposób, dlatego znalazłem w internecie podobne rozwiązanie i nim sie posługuje.

Mariusz: A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=3^∞a_nxⁿ=∑_n=3^∞4a_n−1xⁿ+∑_n=3^∞3a_n−2xⁿ −∑_n=3^∞18a_n−3xⁿ+∑_n=3^∞3xⁿ ∑_n=3^∞a_nxⁿ=4x∑_n=3^∞a_n−1xⁿ⁻¹+3x²∑_n=3^∞a_n−2xⁿ⁻²

	x3
−18x3∑n=3∞an−3xn−3+
	1−x

∑_n=3^∞a_nxⁿ=4x∑_n=2^∞a_nxⁿ+3x²∑_n=1^∞a_nxⁿ

	x3
−18x3∑n=0∞anxn+
	1−x

∑_n=0^∞a_nxⁿ−2−7x−49x²=4x(∑_n=0^∞a_nxⁿ−2−7x)

	x3
+3x2(∑n=0∞anxn−2)−18x3∑n=0∞anxn+
	1−x

	x3
A(x)−2−7x−49x2=4x(A(x)−2−7x)+3x2(A(x)−2)−18x3A(x)+
	1−x

	x3
A(x)−4xA(x)−3x2A(x)+18x3A(x)=2+7x+49x2−8x−28x2−6x2+
	1−x

	x3
A(x)(1−4x−3x2+18x3)=2−x+13x2+
	1−x

	(2−x+13x2)(1−x)+x3
A(x)(1−4x−3x2+18x3)=
	1−x

	2−3x+14x2−12x3
A(x)(1+2x)(1−3x)2=
	1−x

	2−3x+14x2−12x3
A(x)=
	(1−x)(1+2x)(1−3x)2

2−3x+14x2−12x3		A		B		C		D
	=		+		+		+
(1−x)(1+2x)(1−3x)2		1−x		1+2x		1−3x		(1−3x)2

1		1
	rozwiniesz w szereg różniczkując szereg geometryczny
(1−3x)2		1−3x

lubieserniktytez?: Da rade jakoś prościej Panie Mariuszu? Przepraszam, ale nic nie rozumiem z takich wywodów i muszę mieć przedstawiony schemat jak dla idioty

jc: Proponuję znaleźć jakiekolwiek rozwiązanie. Dla a_n=1 mamy a_n − 4 a_n−1 − 3 a_n−2 + 18 a_n−3 = 1−4−3+18 = 12. Zatem jednym z rozwiązań jest ciąg a_n=1/4. z³−4*z²−3*z+18 = (z + 2)*(z − 3)² Najogólniejsze rozwiązanie ma postać a_n = A(−2)ⁿ + B 3ⁿ + C n 3ⁿ + 1/4 Teraz dobierasz A, B, C tak, aby być w zgodzie z warunkami początkowymi.

Mariusz: Błąd rachunkowy, patrzyłem nie na ten składnik co trzeba dodając wyrazy z x² Funkcja tworząca wygląda tak

	2−3x+16x2−12x3
A(x)=
	(1−x)(1+2x)(1−3x)2

Mariusz: Funkcję tworzącą wystarczy wstawić i równanie samo się rozwiązuje Nie zdziwiłbym się gdybyś nie zrozumiał tego co wypisuje jc bo te jego pomysły nie mają uzasadnienia

Mila: [PMariuszu]] też to liczyłam, ( dobrze, że TY napisałeś). Mam niezgodność z Twoimi rachunkami. 1) 2+7x+49x²−8x−28x²−6x²=2−x+15x² 2) zgubiłeś "3" ?

jc: Właściwie napisałem to samo co lubiesernik, z tą różnicą, że dopisałem trzeci składnik związany z podwójnym pierwiastkiem, zamieniłem t na z, oraz uwzględniłem 3 (choć tylko lubiesernik wie, czy ta trójka na końcu ma być, czy nie).

Mila: O, nie zauważyłam, albo może jeszcze nie było wpisu 23:30, gdy swoje pisałam ( dość długo, bo marudziłam w kuchni). Dobranoc Panowie, jutro skończę i będę analizować sposób JC. Z tymi funkcjami tworzącymi, to sporo zachodu.

lubieserniktytez?: A jaka koniec końców jest odpowiedź?

jc: Bez trójki na końcu to a_n = (−2)ⁿ + 3ⁿ + 2n 3ⁿ Z trójką licz sam.

Mariusz: Tak trójkę też zgubiłem Mila ale jak wstawisz funkcję tworzącą to każdy krok obliczeń wynika z poprzedniego poza tym więcej równań rozwiążesz z użyciem funkcji tworzącej Odpowiedz na pytania 1. Skąd założenie że rozwiązanie jest postaci λⁿ ? 2. Dlaczego gdy równanie charakterystyczne posiada pierwiastki wielokrotne to przy λⁿ występuje czynnik wielomianowy ? 3. Dlaczego tak a nie inaczej należy przewidywać rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego Do sposobu który zaproponowałem zamiast funkcji tworzącej już jest mniej pytań Rozłóż funkcję tworzącą na sumę ułamków

2−3x+16x2−12x3		A		B		C		D
	=		+		+		+
(1−x)(1+2x)(1−3x)2		1−x		1+2x		1−3x		(1−3x)2

a następnie skorzystaj z sumy szeregu geometrycznego W razie potrzeby zróżniczkuj szereg geometrycznego Zamiast różniczkowania szeregu geometrycznego możesz skorzystać z dwumianu Newtona jeśli go uogólnialiście

jc: Mariusz, każde równanie tej postaci (jednorodne) zapiszesz w postaci v_n = M v_n−1, gdzie M jest pewną macierzą. Rozwiązanie: v_n = Mⁿ v₀. Potęgę możesz policzyć, zapisując macierz w postaci sumy dwóch komutujących macierzy: nilpotentnej i diagonalizowalnej. Wynika stąd postać rozwiązania. −−− Podobnie jest z liniowymi równaniami różniczkowymi o stałych współczynnikach. Tam też popularne są dwa sposoby: podstawienie e^kt (moje rozwiązanie) oraz metoda operatorowa (Twoje rozwiązanie). −−− lubiesernik najwyraźniej przeczytał o metodzie, którą zastosowałem. A co do 3 na końcu, to sam spójrz na treść zadania. Wygląda trochę bez sensu. Przyjąłem, że lubię sernik za słabo wcisnął shift, ale może tam miało być napisane "dla n ≥ 3" ?

Mariusz: Moja druga propozycja to właśnie przekształcenie równania jednorodnego w układ i rozwiązanie go z użyciem wartości własnych , uogólnionych wektorów własnych i dwumianu Newtona Rozwiązanie szczególne lepiej jest jednak znaleźć uzmienniając stałe Tutaj też jest pewna analogia do równań różniczkowych Układ równań który mamy rozwiązać podobnie wygląda tylko zamiast macierzy Wrońskiego mamy macierz Casoratiego Po rozwiązaniu układu równań poszczególne składowe wyniku musimy zsumować a w równaniach rożniczkowych będziemy je całkować Postać rozwiązania szczególnego też jest podobna Też zauważyłem te dwa znaki równości kiedy chciałem zacząć rozwiązywać funkcją tworzącą Kiedyś jeden próbował uzasadnić występowanie tego czynnika wielomianowego przy rozwiązaniu szczególnym równania jednorodnego w ten sposób założył że równanie ma dwa różne rozwiązania szczególne różniące się o jakąś małą wartość którą nazwał ε a następnie policzył granicę przy ε→0 Nie wiem czy to dobry pomysł Dla pierwiastków podwójnych jakoś się sprawdza ale co z innymi krotnościami

jc: Mariusz, masz dwie drogi. 1. zapisujesz macierz w postaci Jordana i potęgujesz. 2. sprawdzasz bezpośrednim rachunkiem (nic trudnego).

Mariusz: Ze sprawdzeniem nie jest problem tylko co jeśli zapomnimy że ten czynnik się wielomianowy się pojawia w przypadku pierwiastków wielokrotnych Poza tym jak uzasadnić przewidywanie zwłaszcza gdy składnik części niejednorodnej jest rozwiązaniem szczególnym równania jednorodnego

lubieserniktytez?: Tak miało być zapisane, źle to napisałem w pierwszym poście. Przepraszam za błąd. [ 2, dla n=0; [ 7, dla n=1; an=[ 49, dla n=2; [4 a_n−1 + 3 a_n−2 − 18 a_n−3 , dla n≥3

jc: Mariusz, teraz wydaje mi się, że bezpośrednie sprawdzenie łatwe nie jest (nie próbowałem). Jeśli chodzi o równanie niejednorodne, to masz rację, że są ogólniejsze sposoby. Gdyby podstawienie 1 dało zero, podstawiłbym n (w naszym zadaniu nie mogło tak być, bo zero nie było pierwiastkiem). Dlaczego mielibyśmy zapomnieć o czynniku wielomianowym? Jeśli czegoś nie dopiszemy, nie będzie się zgadzał wymiar przestrzeni rozwiązań!

jc: No to masz rozwiązanie: a_n = (−2)ⁿ + 3ⁿ + 2n 3ⁿ Aby otrzymać ten wynik, dobierasz A,B,C tak, aby być w zgodzie z warunkami początkowymi a₀ = 2, a₁=7, a₂ =49. a_n = A (−2)ⁿ + B 3ⁿ + C n 3ⁿ −−−− Ja nawet nie rozwiązywałem układu równań, po prostu pomyślałem, że autor zadania wybrał małe liczby, też takie wziąłem i sprawdziłem.

lubieserniktytez?: Możesz wyjaśnić skąd wziąłeś ten wzór na a_n?

jc: Napisałeś, że coś znalazłeś w internecie. O który wzór pytasz? ten pierwszy czy ten drugi?

lubieserniktytez?: O ten an = A (−2)n + B 3n + C n 3n

jc: a_n+3 = Pa_n+2 + Q a_n+1 + R a_n Szukasz rozwiązania postaci a_n = zⁿ. Podstawiasz i widzisz, że wystarczy aby z³ = P z² + Q z + R, czyli, wystarczy aby z było pierwiastkiem wielomianu f(z)=z³ − P z² − Q z − R. Jeśli jakiś pierwiastek u jest dwukrotny, to masz dodatkowe rozwiązanie n uⁿ, jeśli trzykrotny, to masz jeszcze n² uⁿ (to możesz sprawdzić podstawiając) W Twoim zadaniu −2 jest pierwiastkiem pojedynczym, a 3 podwójnym. Masz więc 3 liniowo niezależne rozwiązania: (−2)ⁿ, 3ⁿ, n3ⁿ. Dowolna kombinacja liniowa wspomnianych rozwiązań jest rozwiązaniem.

lubieserniktytez?: W takim razie skoro wyszło (−2)ⁿ+3ⁿ+n3ⁿ to czemu rozwiązanie to: (−2)ⁿ+3ⁿ+2n3ⁿ

Mila: Tak, ta (+3 ) we wzorze bardzo skomplikowała sytuację. Teraz jest prosta funkcja tworząca. Jeśli Mariusz nie dokończy, to napiszę wieczorem. Rozwiążę też ( chodzi mi o obliczenia) sposobem JC.

jc: Nigdzie nie napisałem, że wyszło (−2)ⁿ+3ⁿ+n3ⁿ. Rozwiązanie ma postać A (−2)ⁿ+ B 3ⁿ+ C n3ⁿ. Wartości A, B, C należy odpowiednio dobrać rozwiązując układ równań: A + B = 2 −2 A + 3 B + 3 C = 7 4 A + 9 B + 18 C = 49

Mila: Do autora zadania ( nick masz udziwniony), pisz zawsze dokładnie treść zadania i jeśli masz odpowiedź to też podawaj. W I wersji wychodziły koszmarne wsp. w ułamkach prostych, liczyłam kilka razy, bo myślałam, że popełniłam błędy rachunkowe. Niepotrzebnie traci się czas.

Mila: funkcja tworząca:

	15x2−x+2
f(x)=		po rozkładzie na ułamki proste:
	18x3−3x2−4x+1

	1		2		1
f(x)=		+		+		=
	3x−1		(3x−1)2		2x+1

	−1		2		1
=		+		+		=
	1−3x		(1−3x)2		1−(−2x)

	n+1 n
=−1*∑(n=0 do∞)3n*xn+2*∑(n=0 ∞)		*3n*xn+∑(n=0 do∞)(−2)nxn⇔

	n+1 n
an=−1*3n+2*		*3n+(−2)n=

=−1*3ⁿ+2*(n+1)*3ⁿ+(−2)ⁿ= =−1*3ⁿ+2n*3ⁿ+2*3ⁿ+(−2)ⁿ= =3ⁿ+2n*3ⁿ+(−2)ⁿ

Mariusz: Mila układ równań dobrze jest rozwiązać z wykorzystaniem macierzy odwrotnej albo rozkładu LU bo nie ma tyle roboty jeśli pomylisz się we współczynnikach tych które znajdują się w kolumnie wyrazów wolnych

Mila: Są różne sposoby wyznaczania funkcji tworzącej. Może łatwiejsze niż podałeś, ja zresztą też tak liczyłam jak TY. O jakim układzie mówisz?

Mariusz: Ten na współczynniki tych ułamków Nazywasz je prostymi chociaż ja wole na nie patrzeć jako na sumę szeregu geometrycznego i jego pochodnych Na lekcji mnie tak uczyli Są różne sposoby ?

Mariusz: Gdybyśmy w równaniu liniowym nie mieli stałych współczynników to istnieje duże prawdopodobieństwo że będziemy musieli rozwiązać równanie różniczkowe jeżeli chcemy z funkcji tworzącej skorzystać W takim przypadku wykładnicza funkcja tworząca może okazać się lepszym pomysłem

Mila: Serniczku Ustaliłeś wzór z Twojego równania?

jc: Mila, serniczek się niecierpliwił i o 8:06 podzieliłem się wynikiem.

Mila: JC Widziałam, ale nie wiem, czy ustalił dobrze układ równań. Podoba mi się Twój sposób.

jc: Mila To tak, jak z równaniem różniczkowym y'' + 5 y' + 6 y = 0. Możesz podstawiać y = e^kt (moje rozwiązanie) lub możesz zastosować transformatę Laplac'e (Twoje i Mariusza rozwiązanie).

Mariusz: A co z pomysłem przekształcenia równania jednorodnego w układ równań oraz ze znalezieniem szczególnego rozwiązania równania niejednorodnego uzmiennieniem stałych ? Pomysł wymaga znajomości podstaw algebry (równanie jednorodne) oraz rachunku różnicowego (uzmiennianie stałych)

Mariusz: To jest odpowiednik przekształcenia Laplace Równania różniczkowe też można szeregami rozwiązywać np metoda Frobeniusa

lubieserniktytez?: Dzięki jc, twój sposób najlepszy, ponieważ najprostszy w zrozumieniu

Mariusz: Dziwne to funkcje tworzące są łatwiejsze Odpowiedz na te trzy pytania które zadałem Funkcję tworzącą wystarczy tylko wstawić i każdy krok obliczeń wynika z poprzedniego Jeśli funkcja tworząca jest funkcją wymierną to łatwo ją rozwinąć w szereg korzystając z sumy szeregów geometrycznych i ich pochodnych Jeśli funkcja tworząca nie jest funkcją wymierną to popularnym sposobem rozwinięcia w szereg jest obliczanie pochodnych i skorzystanie ze wzoru Taylora