Układ kongruencji nierozumiemamatematyki: x=1(mod 15) x=22(mod 36) NWD(15,22)=3 czyli muszę rozbić je na kilka kongruencji x=1(mod 15) to x=1(mod 3) oraz x=1(mod 5) x=22(mod 36) to x=22(mod 9) oraz x=22(mod 4) Czy jest możliwość rozłożenia kongruencji x=22(mod 36) jako x=22(mod 6)?Co robię dalej?

Saizou : x≡1 mod15→x=1+15k 1+15k≡22 mod 36 15k≡21 mod 36 /:3 NWD(36,3)=3 zatem dzielimy moduł przez 3 5k≡7 mod 12 5k≡−5 mod 12 /:5 NWD(12,5)=1 k≡−1≡11 mod 12 →k=11+12p x=1+15(11+12p)=166+180p dla p € ℤ

Mila: x=15k+1 sprawdzam dla jakiego najmniejszego k, liczba 15k+1 spełnia drugie równanie k=0,1 nie k=2 x=31≡−5(mod36) , nie k=3 x=46≡10(mod36), nie itd (sprawdzasz tylko nieparzyste k) k=11 x=166≡22(mod36) spełnione równanie dla k=11 x=166 + 15*36*m Ponieważ 15 i 36 nie są względnie pierwsze, to może sprawdź, czy pasuje x=166+NWW(15,36)*m⇔ x=166+180m

Mariusz: x=1 mod 15 x=22 mod 36 Pierwsze równanie możemy rozpisać jako x=1 mod 3 x=1 mod 5 Drugie równanie możemy zapisać jako x=2 mod 4 x=4 mod 9 Zatem cały układ możemy zapisać jako x=2 mod 4 x=1 mod 5 x=4 mod 9 Teraz możesz skorzystać z chińskiego twierdzenia o resztach

nierozumiemmatematyki: Czemu w układzie pominąłeś x=1 mod 3?

nierozumiemmatematyki: Wszystko rozumiem tylko czemu pominąłeś tam tą kongruencję i zapisałeś układ jako 3 kongruencje.

jc: Jeśli x ≡ 4 (mod 9), to x ≡ 1 (mod 3) i dlatego to drugie równanie można pominąć.

nierozumiemmatematyki: Możesz wyjaśnić dlaczego? Przecież rozwiązaniami x=4(mod 9) są liczby: 4,11,20,29, a x=1(mod 3) liczby:4,7,11,14,17,20,23,26,29. Jeśli pominę kongruencję x=1(mod 3) to pomijam liczby 7,14,17 itd.

Adam: oba muszą być spełnione więc pomijasz jedynie błędne odpowiedzi

Adam: wszystkie liczby spełniające x≡4 (mod 9) spełniają x≡1 (mod 3)

nierozumiemmatematyki: Czyli na odwrót nie musi spełniać?

Adam: to że x≡1 (mod 3) to nie znaczy że x≡4 (mod 9), ale jeśli x≡4 (mod 9) to musi być x≡1 (mod 3)

nierozumiemmatematyki: Czyli przykładowo jakbym miał kongruencję x=2(mod 3) oraz x=2(mod 6) to tak naprawdę mogę napisać jedną kongruencję x=2(mod 6), ponieważ liczby spełniające x=2(mod 6) spełniają x=2(mod 3). Mam rację?

Adam: tak