całka wymierna Poprawkowicz: Oblicz całkę wymierną z funkcji:

x2−3x+2
	.
x3+2x2+x

	x2		6
Odpowiedź z książki: ln		+		+ C .
	|x+1|		x+1

Dziękuję bardzo za pomoc.

Adam:

x2−3x+2		A		B		C
	=		+		+
x(x+1)2		x		x+1		(x+1)2

x²−3x+2=Ax²+2Ax+A+Bx²+Bx+Cx A+B=1 2A+B+C=−3 ⇒ A+C=−4 A=2 B=−1 C=−6

	x2−3x+2		2		−1		−6
∫		= ∫		+		+		=
	x(x+1)2		x		x+1		(x+1)2

	6		x2		6
=2ln|x|−ln|x+1|+		=ln		+
	x+1		|x+1|		x+1

ułmek:

	(x2+2x+1)+(x+1)−6x		1		1		6
=		=		+		−
	x(x2+2x+1)		x		x(x+1)		(x+1)2

	2		1		6
=		−		−
	x		x+1		(x+1)2

	6
Dlatego ∫ = 2 ln |x| − ln |x+1| +
	x+1

(to samo, co w książce)

Poprawkowicz: Dziękuję bardzo za pomoc!

Mariusz: Na całkowanie funkcji wymiernych jest schemacik

	L(x)
∫		dx
	M(x)

1. Stopień licznika jest większy lub równy stopniowi mianownika deg L(x) ≥ deg M(x) Dzielisz licznik przez mianownik L(x)=W(x)M(x)+R(x)

	L(x)		R(x)
∫		dx=∫W(x)dx+∫		dx
	M(x)		M(x)

Po podzieleniu licznika przez mianownik stopień reszty jest już mniejszy niż stopień mianownika 2. Stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika oraz mianownik posiada pierwiastki wielokrotne deg R(x)< deg M(x) ∧ NWD(M(x),M'(x))≠const

	R(x)		R1(x)		R2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

M₁(x)=NWD(M(x),M'(x)) M(x)=M₁(x)M₂(x) deg R₁(x)<deg M₁(x) deg R₂(x)<deg M₂(x) Liczniki obliczasz metodą współczynników nieoznaczonych Za współczynniki wielomianów obierasz współczynniki literowe i różniczkujesz powyższą równość aby obliczyć współczynniki 3. Stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika oraz mianownik posiada tylko pierwiastki pojedyncze deg R₂(x)< deg M₂(x) ∧ NWD(M₂(x),M₂'(x))=const Niech M(x)=(x−a₁)(x−a₂)*...*(x−a_k) (x²+p₁x+q₁)(x²+p₂x+q₂)*...*(x²+p_mx+q_m)

	R2(x)		dx		dx		dx
∫		dx=A1∫		+A2∫		+...+Ak∫
	M2(x)		x−a1		x−a2		x−ak

	2x+p1		2x+p2
+B1∫		dx+B2∫		dx
	x2+p1x+q1		x2+p2x+q2

	2x+pm
+...+Bm∫		dx
	x2+pmx+qm

	C1		dx
+		∫
	√q1−p12/4		x+( (p1)/2)   1+( )2   √q1−p12/4

	C2		dx
+		∫		+...+
	√q2−p22/4		x+( (p2)/2)   1+( )2   √q2−p22/4

Cm		dx
	∫
√qm−pm2/4		x+( (pm)/2)   1+( )2   √qm−pm2/4