Proste? Jack: Dwa "proste" zadanka z konkursu (bardzo dawno byl) 1 .Stosunek 2 liczb dodatnich jest taki sam jak stosunek ich sumy do ich roznicy 2. Rozwiaz uklad rownan w zaleznosci od parametru b { x+y = 1 {x*sgn(b) + y = sgn(b²) { 1 dla b>0 sgn(b) = { 0 dla b=0 { −1 dla b<0 ============================================================================

Jack: i jeszcze jedno 3. Funkcja f : R→R spelnia warunki : − f(x+y) = f(x) + f(y) − f(1) = 1

	1
oblicz f(		)
	4

Jack: czy w zad 1.

a
	= 1 − √2 lub 1 + √2?
b

Saizou : (1) Każda para licz ((1+√2)a,a) spełnia warunek, dla a>0

Jack: Zapomnialem dopisac w pierwszym. Polecenie to "wyznacz ten iloraz"

Saizou : 1−√2 NIE, bo stosunek liczb dodatnich jest dodatni

Jack: a no przeciez... to pierwsze juz mamy.

Benny:

	1		1
3.f(		)=
	4		4

Jack: czy zad 3. moge zrobic tak : ?

	1		1		1
f(		+		) = 2 * f(		) = 1
	2		2		2

	1		1
f(		) =
	2		2

	1		1		1		1
f(		+		) = 2*f(		) =
	4		4		4		2

zatem

	1		1
f(		) =		?
	4		4

Saizou : a (2) to tak na prawdę 3 proste układy dla b<0 mamy x+y=1 −x+y=1 (x,y)=(0,1) dla b=0 mamy x+y=1 y=0 (x,y)=(1,0) dla b>0 x+y=1 x+y=1 tożsamość

Saizou : Można tak obliczyć

Jack: drugiego to nie rozumiem

Saizou : −f(x+y)=f(x)+f(y) jak mnie to wprowadziło w błąd dopiero po chwili zrozumiałem że to nie znaki minus, tylko myślniki

Benny: sgn(b²)=0 dla b=0 sgn(b²)>0 dla b≠0

Benny: tam powinno być nie >0 tylko =1

Jack: przepraszam za ten zapis − Saizou.

Saizou : mamy rozwiązać układ w zależności od parametru b funkcja signum (znak) przebiega przez rzeczywiste wartości b, zatem najłatwiej rozgraniczać tak jak podaje wzór dla b<0, sgn(b)=−1, a sgn(b²)=1, stąd mamy x+y=1 −x+y=1 i tak dalej warto jeszcze sobie napisać { 0 dla b=0 sgn(b²)= { {1 w.p.p.

Mila: (2) korzystasz z def sgn(b) rozważ sytuacje: b >0 b=0 b<0 w zależności od znaku b ustalasz drugie równanie. To właśnie rozpisał Saizou.

Jack: dziekuje wszystkim za pomoc jednakze nie przekonuje mnie ten zapis, mam na mysli, ze : wiem ze sgn(b) = 0 dla b= 0, jak moge stwierdzic jak zachowa sie sgn(b²)? to ze np. funkcja sin(α) = 0 dla α = 0 to nie oznacza ze sin(2α) = 0 dla... chyba zaczynam teraz pisac glupoty... no ale nie moge tego zrozumiec...

Benny: b² jest nieujemne, więc znak nigdy nie będzie ujemny

Saizou : 1 dla x>0 sgn(x)= 0 dla x=0 −1 dla x<0 teraz naszym x jest b² 1 dla b²>0→dla b € R\{0} sgn(b²)= 0 dla b²=0→dla b=0 −1 dla b²<0→nie ma takiego b

Jack: dobra, chyba cos czaje dzieki za pomoc.

Jack: Moze jeszcze jedno ktorego nie czaje... Liczby pierwsze p i q, gdzie p<q nazywaja sie blizniacze, gdy q = p+2 Uzasadnij, ze liczby pierwsze p i q sa blizniacze ⇔ p*q + 1 jest kwadratem liczby naturalnej.

Adam: p*q+1=n² n∊N p*q=(n−1)(n+1) ponieważ p i q są pierwsze p=n−1 q=n+1 stąd q=p+2

Jack: hmm, no dobra, dzieki wielkie

Saizou : ale to nie koniec, po to implikacja w lewo, jeszcze w prawo p,q bliźniacze to pq+1=n² pq+1=p(p+2)+1=p²+2p+1=(p+1)² =n²

Adam: no tak, racja

Jack: Dzieki

Jack: Ciagnac dalej ten post... Oblicz. 1*1! + 2*2! + 3*3! + 4*4! + ... + n * n!

6latek : =(n+1)!−1

Jack: wiem ze to sie tyle rowna, bo wpisalem w wolfram, jednak jak do tego dojsc?

6latek : Masz ten wzor w lepszych takblicach matematycznych

6latek : Kiedys byly w sprzedazy w Biedronce talbice szkolne matematyczne (wydaw. adamantan strona 61 . Przydatne sumy

6latek : Rowniez w ksiazce znalazlem takie wlasnie zdanie z indukcji matematycznej gdzie byl do udowodnienia ten wzor

jc: Można wypisać kilka pierwszych wyrazów i odgadnąć wynik

jc: n*n! = (n+1)! − n! 1*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! = (2! − 1!) + (3! − 2!) + (4! − 3!) + ... + ( (n+1)! − n! ) = (n+1)! − 1

Jack: Ciąg dalszy :x 1. Wykaż, że liczba 291⁸ + 3 * 291⁴ − 4 jest podzielna przez 200

	1
2. Udowodnij, że w dowolnym czworokącie wypukłym a2 + b2 + c2 >		d2,
	3

gdzie a, b, c, d oznaczają długości boków czworokąta. 3. Iloczyn dwóch liczb naturalnych jest równy 11016, a ich największym wspólnym dzielnikiem jest 9. Wyznacz te liczby Na razie starczy. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− wiec zaczynam od 1. niech 291⁴ = k Mamy wykazać, że k² + 3k − 4 jest podzielna przez 200 k² + 3k − 4 = (k+4)(k−1) Wracam do podstawienia (k+4)(k−1) = (291⁴ + 4)(291⁴ − 1) = (291⁴+1)(291²+1)(291²−1) = = (291⁴ + 1)(291² + 1)(291 − 1)(291+1) = (291⁴ + 1)(291² + 1)*290*292 ale to nadal nie pokazuje ze jest podzielne przez 200 Pewnie zakonczenie jest banalne jednak ja go nie widze w tej chwili

Jack: jeszcze jedno zadanko dodam 4. Rozstrzygnij czy jest to liczba pierwsza −> 1+2^3456789

jc: 3456789 = 3k 1+2^3k = (1+ 2^k)(1 − 2^k + 2^2k ) Liczba złożona.

Jack: skad wiemy, ze 3456789 = 3k?

jc: Suma cyfr

Benny: 3+4+5+6+7+8+9=42, dzieli się przez 3

Jack: a no logiczne... zapomnialem o tym ; D

Jack: n to jeszcze te 3 zadanka z 22:00 mi zostaly.

Krzysiek58: zadanie nr 3 x=9k i y=9p i k oraz p liczby wzglednie pierwszse musza byc x*y= 9k*9p= 81kp= 11016 to k*p= 136 teraz 136= 1*136 136= 2* 68 136= 4*34 136=8*17 Szukaj jeszce rozkladu 136 i patrz ktore sa wzglenie pierwszse

Krzysiek58: Chyba wiecej nie bedzie wiec masz np k=8 i p=17 wiec x= 8*9=72 y= 17*9= 153 x*y= 72*153= 11016 Bedzie jeszcze jedna taka para

jc: 291 ≡ 3 (mod 8) 291² ≡ 1 (mod 8) 291⁸ + 3*291⁴−4 ≡ 1 + 3 − 4 ≡ 0 (mod 8) 291 ≡ −9 (mod 25) 291² ≡ 81 ≡ 6 (mod 25) 291⁴ ≡ 36 ≡ 11 (mod 25) 291⁸ ≡ 121 ≡ − 4 (mod 25) 291⁸ + 3*291⁴−4 ≡ −4 + 3*11 − 4 = 25 ≡ 0 (mod 25) Dlatego nasza liczba dzieli się przez 8*25=200.

Jack: a mozna bez modow? : D PS dzieki za pomoc

anaisy: 2. Z nierówności trójkąta

d2		(a+b+c)2		a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
	<		=		≤
3		3		3

	a2+b2+c2+(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)
≤		=a2+b2+c2
	3