Podstawienie Eulera Matrix: Mam problem z taką całeczką: ∫x√4x² + 1 Z podstawienia Eulera wyszło mi:

	t2−1
x =
	4t

	t2+1
dx =
	4t

	3t2−1
√4x2 + 1 =
	4t

	(t4−1)(3t2−1)
czyli ∫x√4x2 + 1 = ∫
	64t4

Jak dalej to obliczyć?

Jerzy: Podstaw: 4x² + 1 = t

Matrix: t = 1+4x² dt = 8x dx x = ^√t−1₂

	t
14∫		dt, jak dalej?
	√t−1

Matrix: t = 1+4t² dt = 8x dx

	√t−1
x =
	2

	1		t
czyli wyjdzie		∫		dt
	4		√t−1

Jak dalej?

bezendu: ∫x√4x⁺1dx t=4x²+1 dt=8xdx

dt
	=8x / *dx
dx

dt=8xdx / 8x

	dt
dx=
	8x

	dt		√t		1
∫x√t		=∫		dt=		∫√tdt
	8x		8		8

1		1
	∫t3/2+C=		(4x2+1)3/2+C
12		12

=================================

Jerzy: I o to chodziło

Jerzy: Mozesz rowniez podstawic √4x² + 1 = t 4x² + 1 = t² i 8xdx = 2tdt

Mariusz: √4x²+1=t−2x 4x²+1=t²+4tx+4x² 1=t²+4tx 4tx=t²−1

	t2−1
x=
	4t

	4t2−2t2+2		t2+1
t−2x=		=
	4t		2t

	2t*4t−4(t2−1)
dx=		dt
	16t2

	t2+1
dx=		dt
	4t2

	t2−1	t2+1	t2+1
∫				dt
	4t	2t	4t2

	(t4−1)(t2+1)
∫		dt
	32t4

	1		t6+t4−t2−1
=		∫		dt
	32		t4

	1		dt		dt
=		(∫t2dt+∫dt−∫		−∫		)
	32		t2		t4

Jerzy: Po co Mariusz wytaczać armatę na wróbla ?

bezendu: Ja swoje rozwiązanie zrobiłem w 5 linijkach, Ty Mariusz w "x" Nie sztuką jest rozwiązać zadanie, sztuką je rozwiązać jak najkrócej i sprytniej.

Mariusz: 1. W temacie jest podstawienie Eulera 2. Zaczął już liczyć podstawieniem Eulera 3. Jeśli podstawienie Eulera miał narzucone to innego mogą mu nie uznać 4. Po skorzystaniu z liniowości wychodzi całka z potęgi

Jerzy: Racja..nie przeczytałem tematu.

Mariusz: Ja miałem dwa takie przypadki gdy rozwiązałem zadanie inaczej niż ulubioną metodą prowadzącego i w obydwu przypadkach nie zostało mi ono zaliczone Gdyby nie było narzuconej metody to nawet nie trzeba podstawiać bo wystarczy scałkować przez części

Jerzy: Podstawie jest chyba prostsze.

Matrix: Napisałem taki temat, bo byłem przekonany, że da się to zrobić tylko podstawieniem Eulera Dziękuję za pokazanie prostszych rozwiązań

Matrix: A jak będzie bez x przed pierwiastkiem? ∫√1+4x² dx

Matrix: ? Próbowałem z kilkoma podstawieniami i nie wychodzi mi :<

Mariusz: W całkach postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx możesz zastosować podstawienia √ax²+bx+c=t−√ax a>0 √ax²+bx+c=(x−x₁)t a<0 Gdy a<0 możesz założyć że b²−4ac>0 inaczej trójmian pod pierwiastkiem przyjmowałby tylko wartości ujemne √1+4x²=t−2x 1+4x²=t²−4xt+4x² 1=t²−4xt 4xt=t²−1

	t2−1
x=
	4t

	4t2−2t2+2		t2+1
√1+4x2=t−2x=		=
	4t		2t

	2t*4t−4(t2−1)
dx=		dt
	16t2

	t2+1
dx=		dt
	4t2

	t2+1	t2+1
∫			dt
	2t	4t2

Matrix: Ok, wyszło mi dobrze:

t4 + 4t2ln|t| − 1
16t2

a jak z zamianą t na x? Podstawić po prostu t = √4x²+1 + 2x ?

Mariusz: Tak to co proponujesz powinno zadziałać i na ogół jest dobrym pomysłem jeśli chodzi o tę zamianę zmiennych Zapisz sobie w ten sposób

t4−1+4t2ln|t|
16t2

Rozbij na sumę

t4−1		1
	+		ln|t|
16t2		4

Rozłóż część wymierną na czynniki

1	(t2−1)	(t2+1)		1
			+		ln|t|
2	4t	2t		4

	1		1
=		x√4x2+1+		ln|2x+√4x2+1|
	2		4

Powinna być jeszcze stała jako że pochodna stałej to zero

Mariusz: Jeśli chcesz wiedzieć skąd te podstawienia się wzięły to zajrzyj do Fichtenholza Najlepiej do rosyjskiej wersji językowej bo to język oryginału a w polskim tłumaczeniu mogą być błędy

jc: ∫ √1+4x² dx = (1/2) ∫ (ch t)² dt = (1/4) ( t + ch t sh t) = (1/4) ln (2x + √1+4x²) + (1/2) x √1+4x² x = (1/2) sh t dx = (1/2) ch t dt e^t − e^−t = 4x e^2t − 4x e^t = 1 (e^t − 2x)² = 1 + 4x² e^t = 2x + √1+4x²

Matrix: Ok, dzięki Ci bardzo Mariusz