suma Olkusz: Wykaz że suma tg²1^o +tg²3^o +tg²5^o +...+tg²89^o jest całkowita.

Jack: ciekawe zadanie

zombi: Jedyne co znalazłem http://math.stackexchange.com/questions/217240/reference-for-a-tangent-squared-sum-identity

Mariusz:

	1
tan2(x°)+tan2((90−x)°)=tan2(x°)+cot2(x°)=tan2(x°)+		=
	tan2(x°)

tan4(x°)+1
tan2(x°)

	tan4(x°)−2tan2(x°)+1
tan2(x°)+tan2((90−x)°)−2=
	tan2(x°)

	4
tan2(x°)+tan2((90−x)°)−2=
	tan(2x°)

	4
tan2(x°)+tan2((90−x)°)=		+2
	tan(2x°)

Po zsumowaniu otrzymasz 45+4∑_k=1²²tan²((4k)°)

Mariusz:

	kπ
zombi gdyby udało ci się wykazać że ∑k=1mtan2(		)=2m2+m
	2m+1

to już mielibyśmy zadanie rozwiązane U nas m=22 więc można by także policzyć tę sumę

zombi: Podobne zadanie miałem jeszcze z liceum na jakimś konkursie, ale z tego co pamiętam, nikt nie ruszył.

5-latek: Znalazlem taka tozsamosc ale jest zamiast (+) to (−) tg²α−tg²β= sin(α+β)*sin(α−β)*sec²α*sec²β

Mariusz:

	1
tg2α+tg2β=		((tgα+tgβ)2+(tgα−tgβ)2)
	2

ale 2m²+m=∑_k=1^m(4k−1)

Benny: a co z taką sumą ∑_k=1⁴⁴(tgk+ctgk)²

piotr1973:

	L
tg(90x) =
	M

gdzie:

	90 1		90 3		90 89
L =		t−		t3 + ... +		t89

	90 0		90 2		90 90
M =		−		t2 + ... +		t90

gdzie t= tg(x) (powyższe po zastosowaniu wzórów de Moivre'a) Teraz jeśli tg(90x) = tg(90°) = ∞ 90x = 180°n +90° = 90°(2n+1) n∊N ⇒ x = (2n+1)° gdzie n = 0, 1, 2, ..., 88, 89 wtedy mianownik:

	90 88		90 2		90 0
t90 −		t88 + ... −		t2 +		= 0

Pierwiastkami powyższego równania są: tg(2n+1)° gdzie n = 0, 1, 2, ..., 88, 89 Zaś pierwiastkami równania:

	90 88		90 2		90 0
s45−		s44 + ... −		s +		= 0

są tg²(2n+1)° gdzie n = 0, 1, 2, ..., 88, 89 Stosując wzór Vieta na sumę wszystkich pierwiastków mamy:

	90 88
∑n=089 tg2(2n+1)° =		= 4005

piotr1973: poprawka w ostatniej linijce:

	90 88
∑n=044 tg2(2n+1)° =		= 4005

Mariusz: Takie rozwiązanie jest na stacku skąd zombie wziął swoją sumę