g.: stosując twierdzenie o trzech funkcjach wyznacz granice: 1.n→ -∞ sin x arctg1/x = 0 2. n → ∞ 3 + cos x ------------ = (3 + cos x) * 1/√x = ... ? √x 3. n → ∞ 2^x+arctgx

b.: n dąży czy x dąży do czegoś-tam? chyba x? 1. zastanów się, jak się zachowuje sin x, a jak arctg 1/x, gdy x->-∞ (może zrób wykres schematyczny?) wtedy się pewnie dużo wyjaśni 2. 3+cos x oscyluje pomiędzy 2 a 4, a 1/√x dąży do 0. no to piszemy 2 ≤3+cos x ≤4 / * 1/√x >0 2/√x ≤ (3+cos x)/√x ≤ 4/√x i te zewnętrzne funkcje dążą do 0 przy x->∞ i już 3. no tutaj to można bez żadnych takich twierdzeń...

g.: tak x, ciągle mi się myli... 1. nie potrafię tego narysować... wiem jak wygląda wykres sinx i arctgx...tylko tyle. 2. kumam baze 3. a mogę zrobić coś takiego 2^x ≤ 2^x+arctgx ≥ 2^x+1 ?

g.: 1. kurczę wkradł się błąd. w tym pierwszym przykładzie granica dąży do plus nieskończoności... tak więc ciąg sin x jest ograniczony z góry i z dołu... a jeżeli ograniczony to granica -> 0? tylko nie wiem co z tym arctg 1/x...

b.: 3. tak możesz: 2^x ≤ 2^x+arctgx bo arctgx > 0 dla x>0 (czyli ok dla x->∞; nawiasem mówiąc, można zawsze oszacować tak: -π/2 < arctg x < π/2). a po co ta druga nierówność, w tę samą stronę w dodatku co pierwsza? (druga też jest ok dla x>π/4, czyli przy x->∞ nie będzie problemu) 1. Mamy dla dow. y∈R -π/2 < arctg y < π/2 No ale, jak x dąży do nieskończoności to sytuacja trochę się zmienia. sin x oscyluje pomiędzy -1 a 1 (masz gotowe oszacowania ) a 1/x -> 0, czyli arctg 1/x -> 0. Nie wiesz, jak wyglądają wykresy? Może zainstaluj sobie program maxima: http://maxima.sourceforge.net/ on narysuje takie wykresy (w razie kłopotów mogę powiedzieć dokładnie, jak rysować) i może jak sobie trochę porysujesz, to będziesz miała lepszą intuicję

g.: 3. w tej nierówności drugiej znak mi się pomylił czyli napiszę 2^x ≤ 2^x+arctgx ≤ 2^x+1 i wszystko dąży do +∞, i jest ok? a jakbym chciała zrobić te porównania tak jak Ty napisałeś to jak oszacować limes -π/2? ... -π/2 < arctg x < π/2 / + 2^x i analogicznie jak zrobiłam przykład na dole i wszystko będzie dążyć do + ∞, bo 2^x to 2 do plus niesk. czyli wszystko dąży do plus nieskończoności? 1. -1 ≤ sinx ≤ 1 / * arctg 1/x -1 * arctg 1/x ≤ sinx * arctg 1/x ≤ 1 * arctg 1/x tak to rozpisać? oo super, zaraz sobie to zainstaluję, dzięki wielkie bo z wykresami, zwłaszcza trygonometrycznymi u mnie cienko...

b.: 3. ale to nie jest prawda, że arctg x≤1. Można tak: 2^x ≤ 2^x+arctgx ≤ 2^x+π/2 ale zauważ, że to oszacowanie po prawej nie jest do niczego potrzebne (tutaj stosujemy twierdzenie o 2 funkcjach, a nie o 3 funkcjach ) π/2 < arctg x < π/2 / + 2^x jak dodasz 2^x, dostaniesz 2^x+arctg x, a miało być 2^x+arctgx czyli nie 1. tak zwróć uwagę, że arctg 1/x > 0, bo x>0, więc nie ma kłopotu z mnożeniem nierówności (ogólnie trzeba uważać na znak)

g.: 3. ja mam w poleceniu trzy funkcje, więc obawiam się, że będę musiała skorzystać z trzech... 2^x ≤ 2x+arctgx ≤ 2^x+π/2 czyli x → ∞ i to wystarczy, tak? 1. -1 ≤ sinx ≤ 1 / * arctg 1/x -1 * arctg 1/x ≤ sinx * arctg 1/x ≤ 1 * arctg 1/x hmmm, czyli tutaj ze znakami jest wszystko w porządku? to chyba nie muszę tego jakoś dalej rozpisywać?

g.: 3. a mogę napisać np. tak? 2^x-π/2 ≤ 2^x+arctgx ≤ 2^x+π/2

g.: pomocy...

b.: wszystko w porządku

g.: nawet to ostatnie z tymi π/2?

b.: tak, to ostatnie też

darek: arctg1,3

darek:

olo:

ala: Ej a jak jest z xarctgx.

ala: Ej a jak jest z xarctgx.